శాస్త్ర విజ్ఞానము

ఫిబోనాచీ సంఖ్యలు

మధ్యయుగపు యూరప్ కి చెందిన ఓ పేరుమోసిన గణితవేత్త ఫిబొనాచీ. అంకగణితం, ఆల్జీబ్రా, జ్యామితి మొదలైన రంగాల్లో ఎనలేని కృషి చేశాడు. ఇతడి అసలు పేరు లియొనార్డో ద పీసా (1775-1850). ఇతడి తండ్రి బోనాచీ, ఇటాలియన్ కస్టమ్స్ అధికారిగా, దక్షిణాఫ్రికాలో బర్గియాలో పని చేసేవాడు. (అసలు ఫిబోనాచీ అంటే బోనాచీ పుత్రుడు అని అర్థం). తండ్రి బోనాచీ ఉద్యోగ రీత్యా ఎన్నో ప్రాంతాలు తిరిగేవాడు. తండ్రితో బాటు ఫిబొనాచీ కూడా అరేబియా, ఇంకా తూర్పు ప్రాంతపు నగరాలెన్నో తిరిగాడు. ఆ యాత్రల వల్ల అతడికి హిందూ-అరబిక్ సంఖ్యా వ్యవస్థలతో గాఢమైన పరిచయం ఏర్పడింది. తను నేర్చుకోవడమే కాక వాటి వినియోగం గురించి యూరప్ లో బాగా ప్రచారం చేయటం మొదలెట్టాడు ఫిబోనాచీ. 1802 లో అతడు హిందూ-అరబిక్ సంఖ్యల గురించి ’లిబిర్ అబాచీ’ అనే పుస్తకం రాశాడు. వాటితో కూడికలు, తీసివేతలు, గుణకారాలు, భాగహారాలు మొదలైన పరికర్మలు (operations) ఎలా చెయ్యాలో అందులో వివరించాడు. అందులో ఆల్జీబ్రా, జ్యామితి కి చెందిన విస్తృత చర్చ కూడా ఉంది. ఈ కొత్త సంఖ్యా పద్ధతిని ఇటాలియన్ వర్తకులు అంత సులభంగా ఒప్పుకోలేదు. అయితే ఫిబొనాచీ తదితర యూరోపియన్ గణితవేత్తల కృషి వల్ల హిందూ-అరబిక్ సంఖ్యల వాడుకు యూరప్ లో క్రమంగా పెంపొందింది.

ఫిబోనాచీ పేరు మీద ప్రస్తుతం బాగా చెలామణిలో ఉన్న ఓ సంఖ్యా శ్రేఢి (series) లో వరుసగా ఇలా అంకెలు ఉంటాయి.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

అయితే ఈ శ్రేఢి ’లిబర్ అబాచీ’ లో కేవలం ఓ చిన్న లెక్క . కేవలం ఓ చిన్న అభ్యాసంలా ఇవ్వబడింది. కాని తదనంతరం 19 వ శతాబ్దంలో ఎడ్వర్డ్ లూకాస్ అనే ఫ్రెంచ్ గణితవేత్త నాలుగు భాగాల వినోద గణితం అనే గ్రంథమాలని కూర్చుతూ అందులో ఈ ఫిబోనాచీ శ్రేఢి గురించి ప్రస్తావించాడు. ’లిబర్ అబాచీ’ లో ఇవ్వబడ్డ సమస్య ఇలా ఉంటుంది.

పునరుత్పత్తి వల్ల కుందేళ్ల జనాభా ఎలా వృద్ధి చెందుతుందో ఈ లెక్క వర్ణిస్తుంది. ఈ లెక్కలో కుందేళ్ళ జనాభా వృద్ధిని శాసించే నియమాలు ఇలా ఉంటాయి.
1) ఒకే నెల వయసు ఉన్న కుందేళ్ల జంట పునరుత్పత్తికి సిద్ధంగా ఉండదు.
2) కాని రెండు నెలలు వయసున్న జంట పక్వానికి వచ్చి సంతానాన్ని కంటుంది.
3) రెండవ నెల నుండి నెలనెలా జంటలు సంతానాన్ని కంటాయి.
4)ఆ సంతానంలో ఎప్పుడూ సరిగ్గా రెండే కూనలు (ఒక ఆడ కూన, ఒక మగ కూన) ఉంటాయి.
5)కుందేళ్లకి చావు లేదు (!!!)

ఇలా ఎదుగుతున్న కుందేళ్ళ జనాభా (కుందేళ్ళ జంటల సంఖ్య), నెల నెలా ఎలా పెరుగుతుంది అన్నదే ఈ సమస్య.

n వ నెల మొదట్లో ఉండే కుందేళ్ల జనాభా F_n అనుకుంటే,
జనాభా మొదట్లో ఒక జంట మాత్రమే ఉంటుంది. కనుక F_1 = 1
రెండవ నెల మొదటికి ఆ జంట పక్వానికి రాదు కనుక, రెండవ నెలలో కూడా ఒకే జంట ఉంటుంది. కనుక, F_2 = 1
మూడవ నెల మొదటికి ఆ జంట పక్వానికి వచ్చి సంతానాన్ని కంటుంది. ఇప్పుడు రెండు జంటలు ఉంటాయి. F_3= 2
ఇలా కుందేళ్ల జనాభా వృద్ధిని ఈ చిత్రంలో చూడొచ్చు.

(చిత్రం ఇక్కణ్ణుంచి: http://rahul-aggarwal.blogspot.com/2009/09/fibonacci-series.html)

ఈ శ్రేఢిలో n వ నెలలో జనాభా విలువని, n-1 వ మరియు n-2వ నెలలలో జనాభా విలువల కూడిక అవుతుంది. అంటే,

F(n) = F(n-1) + F(n-2) (1)

పైన (1) లో ఇచ్చినట్టు F(n) విలువని ఒక పునరావృత్త సూత్రంలా (recurrent formula) ఇవ్వకుండా, నేరుగా F(n) ని n యొక్క ప్రమేయంగా వ్యక్తం చెయ్యగలమా?

సామాన్యంగా జనాభా ఇంతింతై అన్నట్టుగా కాలం యొక్క ఘాతాలుగా (powers) గా పెరగడం వింటాం. కనుక F(n) ని x అనే ఓ అజ్ఞాత సంఖ్య యొక్క ఘాతం అనుకుంటే లెక్క సరిపోతుందేమో చూద్దాం.

F(n) = x^n
('^' అన్న చిహ్నం ఘాతాన్ని సూచిస్తుంది)
దీన్ని పైన సూత్రం (1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే,

‍x^n = x^(n-1) + x^(n-2)

లేదా,

x^2 = x + 1

ఈ వర్గ సమీకరణాన్ని (quadratic equation) సాధిస్తే, దాని రెండు మూలాలని (roots) a, b అనుకుంటే, అవి,
a = (1+ sqrt(5))/2, (2a)
b = (1-sqrt(5))/2 (2b)

అని తెలుస్తుంది.

పై రెండు విలువలు సూత్రం (1) ని సంతృప్తి పరుస్తాయి కనుక, F(n) ఈ విధంగా రెండు పదాల యొక్క రేఖీయ సంయోగం (linear combination) గా వ్యక్తం చేద్దాం.

F(n) = c1 a^n + c2 b^n (౩)

ఇప్పుడు c1, c2 విలువలని కనుక్కోవాల్సి ఉంది.

F(1) = 1, F(2) = 2 అని తెలుసు కనుక (3) లో వాటిని ప్రతిక్షేపించి,

c1 = 1/sqrt(5), c2 = -1/sqrt(5) అని తెలుసుకోవచ్చు.

కనుక చివరికి,
F(n) = (1/sqrt(5)) ((1+sqrt(5))/2)^n - (1/sqrt(5))((1-sqrt(5))/2)^n

కరణీయ సంఖ్యల (irrational numbers) తో కూడుకున్న పై సమాసంలో n విలువ పూర్ణ సంఖ్య అయినప్పుడు, ఫలితం ఎప్పుడూ పూర్ణ సంఖ్యే కావడం విశేషం.

ఫిబొనాచీ శ్రేఢికి తదితర ఎన్నో గణిత అంశాలతో సంబంధం ఉంది. అంతకు ముందు చర్చించుకున్న మేరు ప్రస్తారం లేదా పాస్కల్ త్రిభుజంలో కూడా ఇది దాగి వుంది. సువర్ణ నిష్పత్తి (golden ratio) అనే గణిత విశేషానికి కూడా దీంతో సంబంధం ఉంది. అంతే కాదు. ప్రకృతి లయలలోనూ ఎన్నో సందర్భాలలో ఈ ఫిబొనాచీ సంఖ్యలు దోబూచులాడుతుంటాయి. ఆ ముచ్చట్లన్నీ వచ్చే పోస్ట్ లలో...

(సశేషం)

http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number