శాస్త్ర విజ్ఞానము

సోదర సోదరీమణులారా,

ఈ రోజు వక్ర కాలాయతనం గురించి, దానికి సంబంధించిన గురుత్వ ప్రభావం గురించి మీతో చర్చించదలచుకున్నాను. ఓ వంపు తిరిగిన గీతనో, మడత పడ్డ తలాన్నో మీరు సులభంగా ఊహించుకోగలరని నాకు తెలుసు. కాని వంపు తిరిగిన త్రిమితీయ ఆకాశం (threedimensional space) గురించి ప్రస్తావించగానే మీ ముఖాలు చిన్నబోతున్నట్టు కనిపిస్తోంది. వంపు తిరిగిన తలం అన్నప్పుడు కలుగని కంగారు, వంపు తిరిగిన త్రిమితీయ ఆకాశం అనగానే ఎందుకు కలుగుతోంది? దానికి కారణం నాకు తెలుసు.

ఓ గోళం యొక్క ఉపరితలాన్నో, ఓ గుర్రపు జీను తలాన్నో మనం చూసి అది వంపు తిరిగి వుందని గుర్తించినప్పుడు మనం ఆ తలానికి బయట ఉంటూ దాన్ని చూస్తున్నాం. కాని మన చుట్టూ ఉన్న, మనని చుట్టు ముట్టి ఉన్న ఈ త్రిమితీయ ఆకాశం వంపు తిరిగి ఉందని ఊహించడం సులభం కాదు. అయితే ఇలాంటి ఇబ్బందికి కారణం వక్రత అంటే ఏంటో గణితపరంగా అర్థం కాకపోవడమే. వక్రత అనే పదానికి గణితపరమైన అర్థానికి, సామాన్య పరిభాషలో ఆ పదం యొక్క అర్థానికి మధ్య చాలా తేడా ఉంది.

ఓ సమతలం మీద గీసిన జ్యామితీయ ఆకారాలకి (geometric figures) కొన్ని లక్షణాలు ఉంటాయి. ఆ లక్షణాలని యూక్లిడియన్ జ్యామితి బట్టి తెలుసుకోవచ్చు. కాని అదే ఆకారాలని వంపు తిరిగిన తలాల మీద గీస్తే ఆ లక్షణాలలో కొన్ని తేడాలు వస్తాయి. ఆ తేడా ఎలాంటిది, ఎంత మేరకు ఉంది అన్న దాని బట్టి ఆ తలం యొక్క వక్రత ఎలాంటిదో, ఎంత ఉందో గణితవేత్తలు తెలుసుకుంటారు. ఉదాహరణకి ఓ చదునైన కాగితం మీద ఓ త్రిభుజాన్ని గీస్తే దాని కోణాల మొత్తం విలువ 180 డిగ్రీలు ఉంటుంది. కావాలంటే అదే కాగితాన్ని ఓ గొట్టం ఆకారంలోనో, ఓ శంకువు (cone) ఆకారంలోనో మడిచి, అలా వంపుతిరిగిన కాగితం మీద త్రిభుజాన్ని గీసినప్పుడు కూడా దాని కోణాల మొత్తం ఎప్పుడూ 180 డిగ్రీలే ఉంటుంది.

కనుక చదునైన కాగితాన్ని మడిచినంత మాత్రాన దాని తలం యొక్క జ్యామితి మారిపోదు. అవన్నీ కూడా నిజానికి సమతలానికి సమానమైన తలాల కిందే లెక్క. కాని గోళం యొక్క ఉపరితలం అలాంటిది కాదు. అందుకే కాగితాన్ని గోళం మీద మడతలు రాకుండా, చించకుండా అంటించలేము. అందుకే గోళం మీద త్రిభుజం గీస్తే యూక్లిడయన్ జ్యామితి సూత్రాలు దానికి వర్తించవు. ఉదాహరణకి భూమధ్య రేఖ మీద రెండు బిందువుల (A, B) నుండి బయలుదేరి లంబంగా, ఉత్తరంగా సాగే రెండు గీతలు గీస్తే అవి ఉత్తర ధృవం (C) వద్ద కలుస్తాయి. ఇప్పుడు ABC అనే త్రిభుజం మీద A, B కోణాలు లంబ కోణాలు (90 డిగ్రీలు), C వద్ద కోణం విలువ సున్నా కన్నా ఎక్కువ. అంటే ABC త్రిభుజంలో కోణాల మొత్తం విలువ 180 డిగ్రీల కన్నా ఎక్కువ అన్నమాట. త్రిభుజంలోని కోణాల మొత్తంలో ఈ వ్యత్యాసం (సమతలంతో పోల్చితే) ధనవక్రత గల తలం యొక్క లక్షణం అన్నమాట.

అదే విధంగా ఓ “గుర్రపు జీను” తలం మీద గీసిన త్రిభుజం విషయంలో కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీల కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది. ఇది ఋణవక్రత గల తలం యొక్క లక్షణం.

కనుక ఒక తలం యొక్క వక్రత ఎలాంటిదో కనుక్కోవాలంటే ముందు ఆ తలం యొక్క జ్యామితి గురించి తెలుసుకోవాలి. ఊరికే బయటి నుండి తలాన్ని చూస్తే సరిపోదు. అసలు ఊరికే పైపైన చూసి తలం యొక్క లక్షణాన్ని నిర్ణయించబోతే పొరబాట్లు జరగొచ్చు కూడా. ఉదాహరణకి ఒక స్తంభం (cylinder) యొక్క ఉపరితలం, లేదా ఒక కంకణం (torus, గారె లాంటి ఆకారం గల వస్తువు) యొక్క ఉపరితలం వక్రంగా ఉందని అనుకుంటాం. పైగా రెండు తలాలు ఒక్కలాంటివే నని అపోహ పడే అవకాశం కూడా ఉంది. కాని స్తంభం ఉపరితలం నిజానికి సమతలంతో సమానం. కంకణం యొక్క ఉపరితలం వంపు తిరిగి ఉంటుంది. వక్రత తీరుని తెలుసుకునే ప్రయత్నంలో ఇలాంటి కచ్చితమైన గణిత పద్ధతిని ఎంచుకున్నప్పుడు మనం ఉంటున్న ఈ త్రిమితీయ ఆకాశం యొక్క వక్రత ఎలా ఉంటుందో కూడా శోధించే అవకాశం ఉంటుంది.

(సశేషం...)