శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

గణిత ప్రపంచంలో సాహస యాత్ర

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Thursday, November 27, 2014 1 comments


ఒక  యోగి ధ్యానముద్రలో మునిగిపోయినట్టు ఒళ్ళో ఓ పెద్ద పలక పెట్టుకుని, బాసీపట్టు వేసుకుని ఇంటి వరండాలో కూర్చుని తన గణితసాధనలో నిమగ్నమైపోయేవాడు. ఏవేవో గణిత సంకేతాలు, చిహ్నాలు, అంకెలు, సమీకరణాలు, అసమీకరణాలు ఆ పలక నిండా కిక్కిరిసిపోయేవి. ఆ పలక నాలుగు మూలల మధ్య సంఖ్యా శాస్త్రపు నలుమూలలని తడిమేవాడు. అందరికీ తెలిసిన సమస్యతో మొదలైనా ఎవరికీ తెలీని ఏవో విచిత్ర మార్గాల వెంట ముందుకు సాగి వాటిని వినూత్న రీతుల్లో పరిష్కరించేవాడు. అలాంటి ప్రయాసలో ఏకంగా కొత్త కొత్త గణిత విభాగాలే సృజించబడేవి. ఈ గణిత ధ్యానంలో గంటలు తెలీకుండా గడిచిపోయేవి. ఇక పరసరాల మీద ధ్యాసే ఉండేది కాదు. ఒక్కొక్క సారి ఇంట్లో తోచకపోతే గుళ్లో మంటపంలో కూర్చుని గణిత సాధన సాగించేవాడు.

పలక మీద ఒలకబోసిన ప్రతిభకి ఆయుర్దాయం తక్కువని గుర్తించాడో ఏమో ఒక దశలో  పలక పక్కన బెట్టి నోట్సు పుస్తకాలలో రాత మొదలెట్టాడు. ఆ నోట్సులే ప్రస్తుతం  ‘రామానుజన్ నోట్ బుక్స్’ గా, ఓ గొప్ప వరప్రసాదంగా మనకి సంక్రమించాయి. ఈ వ్యాసంగం  1907  దరిదాపుల్లో పచ్చయ్యప్పార్ కాలేజిని వొదిలిపెట్టిన కొద్దికాలానికి మొదలయ్యింది. వాటిలో మొట్టమొదటి నోట్సు పుస్తకం లో రెండొందల పేజీలు ఉన్నాయి. పేజీ పేజీ లోను అతి జ్యామితిక శ్రేణులు (hypergeometric series), అవిచ్ఛిన్న భిన్నాలు (continued fractions),  singular moduli  మొదలైన అధునాతన గణిత శాస్త్ర విశేషాల మీద కొత్త కొత్త ఫలితాలు, సిద్ధాంతాలు నింపబడి వున్నాయి. “ఏదో చిత్రమైన ఆకుపచ్చ సిరా” తో రాయబడింది ఆ నోట్సు అని ఎవరో అన్నారు.

అయితే ఈ మొట్టమొదటి నోట్సు పుస్తకంలో విషయాలు సామాన్యుల విషయం పక్కన పెడితే, పండితులకే మింగుడుపడకుండా ఉన్నాయని అనిపించి ఆ తరువాత ఆ మొదటి నోట్సుని పలు విభాగాలుగా, అధ్యాయాలుగా విభజించి ప్రతీ విభాగం మీద విపులమైన వ్యాఖ్యానం చేస్తూ మరింత సులభంగా అర్థమయ్యేలా రాశాడు రామానుజన్. ప్రతీ అధ్యాయంలోను సరళమైన సిద్ధాంతాలతో మొదలుపెట్టి క్రమంగా మరింత జటిలమైన సిద్ధాంతాలని పేర్కొంటూ, సిద్ధాంతాలని అంకెలతో సూచిస్తూ, ఆ అంకెలని విషయసూచికలో పేర్కొంటూ, తొలి రచనలని సరళీకరించాడు.

తొలి దశలలో పేజీకి కుడి పక్కన మాత్రమే రాస్తూ ఎడమ పక్క ఖాళీగా వొదిలేసేవాడు. అదనపు వ్యాఖ్యానికి సందర్భాన్ని బట్టి ఎడమ పక్కని వాడుకునేవాడు. కాని త్వరలోనే ఆ నియమానికి తిలోదకాలు వొదిలేశాడు. ఇరు పక్కలా గణిత సంకేతాలు నిండిపోసాగాయి. అదీ చాలనట్టు కొన్ని సార్లు పేజీ అంచులలో కూడా గణిత చిహ్నాలని దట్టించసాగాడు. ఎడమ నుండి కుడికి రాసే సాంప్రదాయాన్ని గాలికి వొదిలేశాడు. పైనుండి కిందకి, కింది నుండి పైకి ఇలా ఆ పేజీలలో గణితం కట్టలు తెంచుకుని ప్రవహించింది.  ప్రశాంత గణిత గంగా ప్రవాహం చెలియలికట్టని ఉల్లంఘించి పొలాలని ముంచెత్తింది.

ఊరికే మౌనంగా వరండాలో స్తంభానికి ఆనుకుని కూర్చున్న వేళ మనసులో మెరుపులా ఏదో ఆలోచన వస్తుంది. వెంటనే తన నోట్సు పుస్తకం తెచ్చుకుని లోనుండీ తన్నుకొస్తున్న గణితసంపదని  ఆదరాబాదరాగా అందులో పూరిస్తాడు. అలాంటి పరిస్థితుల్లో సృజన చేస్తున్నప్పుడు పూర్తిగా ప్రణాళికా బద్ధంగా  పుస్తక రచన చెయ్యడానికి వీలుపడదు. ఓ పాఠ్యపుస్తక రచనకి పూనుకున్న లెక్కల పండితుడికి మల్లె ముందే అధ్యాయాల వారీగా తను రాయదలచుకున్న విషయాలని నీటుగా క్రోడీకరించుకుని సిద్ధాంతాలని, ఉదాహరణలని, సమస్యలని వరుసక్రమంలో పేర్చే అవకాశం రామానుజన్ విషయంలో తక్కువ.  అది నాలుగు రోజా మొక్కలతో, రెండు చేమంతి మొక్కలతో, ఓ మల్లె పందిరితో ఇంపుగా తీర్చిదిద్దిన పెరటి తోట కాదు. శాఖోపశాఖలుగా విచ్చలవిడిగా పెరిగిన అపారమైన వృక్ష ఫల పుష్ప సంపత్తితో కిటకిటలాడే గణిత నందనవనమది.


(ఇంకా వుంది)

డోబ్రయినర్ గుర్తించిన త్రికాలు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Tuesday, November 25, 2014 0 comments

మూలకాలలో అంతర్లీనంగా ఉన్న క్రమం యొక్క తొలి ఆనవాళ్లు పసిగట్టినవాడు యోహాన్ వొల్ఫ్‍గాంగ్ డోబ్‍రైనర్ (1780-1849).  1829  లో అతడు బ్రోమిన్ ని పరిశీలించసాగాడు. ఈ మూలకం అంతకు మూడేళ్ల క్రితమే ఆంత్వాన్ జెరోమ్ బలార్ (1802-1876) అనే ఫ్రెంచ్ రసాయన శాస్త్రవేత్త చేత కనుక్కోబడింది. లక్షణాలలో బ్రోమిన్ సరిగ్గా క్లోరిన్ కి, అయొడిన్ కి  మధ్యస్థంగా ఉండడం డోబ్‍రైనర్ గమనించాడు. అయొడిన్ ని బెర్నర్ కూర్త్వా (1777-1833) అనే మరో ఫ్రెంచ్ రసాయన శాస్త్రవేత్త కనుక్కున్నాడు. క్లోరిన్, బ్రోమిన్, అయొడిన లలో రంగు, చర్యశీలత మొదలైన లక్షణాలలో ఓ చక్కని వరుసక్రమం కనిపించడమే కాకుండా, బ్రోమిన్ పరమాణు భారం సరిగ్గా క్లోరిన్, అయొడిన్ లకి మధ్యస్థంగా ఉండడం గమనార్హం. ఇది కేవలం కాకతాళీయం అనుకోవాలా?

అదే విధంగా మూలకాలని అధ్యయనం చేస్తూ పోయిన డోబ్‍రైనర్ అలాగే లక్షణాలలో చక్కని వరుసక్రమం గల  మూడేసి మూలకాలు గల రెండు గుంపులని కనుక్కున్నాడు.  1)  కాల్షియమ్, స్ట్రాంషియమ్, బేరియమ్, 2)  సల్ఫర్, సిలీనియమ్, టెలూరియమ్. ఈ రెండు గుంపులలోను మధ్యలో వున్న మూలకం యొక్క పరమాణుభారం మిగతా రెండు మూలకాల పరమాణుభారాలకి మధ్యలో వుంది. ఇదీ కాకతాళీయమేనా?

డోబ్‍రైనర్ ఈ గుంపులని “త్రికాలు” (triads)  అంటాడు. ఇలాంటి గుంపుల కోసం మరింత గాలించినా ఫలితం లేకపోయింది. అప్పటికి తెలిసిన మూలకాలలో 5/6  వంతు మూలకాలని ఏ రకమైన త్రికాలుగాను ఏర్పాటు చెయ్యలేకపోవడం చూసి డోబ్‍రైనర్ కనుక్కున్న త్రికాలు కేవలం కాకతాళీయాలు అని రసాయనిక శాస్త్రవేత్తలు భావించసాగారు. పైగా డోబ్‍రైనర్ త్రికాలలో పరమాణుభారాలు ఇతర లక్షణాలతో పాటు చక్కగా ఒక క్రమంలో ఇమిడే తీరు ఇతర రసాయనిక శాస్త్రవేత్తలకి అంత నమ్మశక్యంగా అనిపించలేదు. పందొమ్మిదవ శతాబ్దపు మొదటి భాగంలో పరమాణు భారాలని తక్కువ అంచనా వేసేవారు. రసాయనిక లెక్కలలో పరమాణు భారాలని ఉపయోగించేవారు కాని, మూలకాలని ఒక వరుస క్రమంలో అమర్చడానికి ఆ విలువలని వాడాలని అంతవరకు ఎవరికీ అనిపించలేదు.

అంతేకాక రసాయనిక లెక్కలు చెయ్యడానికి అసలు పరమాణు భారాలు నిజంగా ఉపయోగపడుతున్నాయా లేదో కూడా కాస్త సందేహమే. కొందరు రసాయనిక శాస్త్రవేత్తలు పరమాణు భారానికి (atomic weight)  అణుభారానికి (molecualar weight) మధ్య తేడా గమనించేవారు కారు.  అలాగే మరి కొందరు పరమాణు భారానికి తుల్యభారానికి (equivalent weight) మధ్య తేడా గుర్తించేవారు కారు. ఉదాహరణకి ఆక్సిజన్ యొక్క తుల్యభారం  8  అయితే, పరమాణు భారం 16, అణుభారం 32. రసాయనిక లెక్కలలో తుల్యభారం చాలా వీలుగా తోచేది. అందుకు దాన్నే విరివిగా వాడేవారు. కనుక మూలకాల క్రమంలో ఆక్సిజన్ స్థానాన్ని నిర్ణయించేందుకు గాను దాని పరమాణు భారాన్ని (16)  ఎందుకు వాడాలో ఎవరికీ అర్థమయ్యేది కాదు.

తుల్యభారం, పరమాణు భారం, అణుభారం – ఈ విలువల అవగాహనలో ఏర్పడ్డ అయోమయ పరిస్థితి మూలకాల వరుసక్రమాన్ని అర్థం చేసుకునే ప్రయత్నం మీదే కాక, అసలు మొత్తం రసాయన శాస్త్రం మీదే దాని కల్లోలపు  ప్రభావాన్ని విస్తరింపజేసింది. మూలకాల తుల్యభారాల విషయంలో తలెత్తిన విభేదాలు, ఒక అణువులో ఎన్ని పరమాణువులు ఉంటాయి అన్న విషయంలో వివాదాలకి దారితీశాయి.

నిర్మాణ సూత్రాలకి దారి తీసిన తన పరిశోధనలని ప్రచురించిన తరువాత కేకులే ఓ ముఖ్యమైన హెచ్చరిక చేశాడు. రసాయన శాస్త్రవేత్తలు ముందు ప్రయోగవేద్య (empirical formulas) సూత్రాల విషయంలో ఒక ఏకాభిప్రాయానికి రాకపోతే ఈ నిర్మాణ సూత్రాలు ఎందుకూ పనికిరావు అన్నాడు. ఈ ముఖ్యమైన అంశాన్ని చర్చించడానికి యూరప్ లోని రసాయన శాస్త్రవేత్తలు అంతా సమావేశం కావాలి అన్నాడు. అందుకు స్పందనగా చరిత్రలోనే మొట్టమొదటి అంతర్జాతీయ వైజ్ఞానిక సమావేశం జరిగింది. దాని పేరు ప్రథమ అంతర్జాతీయ రసాయనిక సమావేశం (First International Chemical Congress). 1860  లో జర్మనీలోని కార్ల్‍స్‍రూహే నగరంలో ఆ సమావేశం జరిగింది.

ఆ సమావేశంలో నూట నలభై మంది సభ్యులు హాజరు అయ్యారు. వారిలో ఇటాలియన్ రసాయన శాస్త్రవేత్త స్టానిస్లావ్ కానిత్సారో (1826-1910) కూడా వున్నాడు.  రెండేళ్ల క్రితమే ఈ కానిత్సారో తన స్వదేశీయుడైన అవొగాడ్రో పరిశోధనల గురించి తెలుసుకున్నాడు. అవొగాడ్రో ప్రతిపాదన ఉపయోగించి ముఖ్యమైన వాయు మూలకాల విషయంలో అణుభారానికి, పరమాణు భారానికి మధ్య తేడా ఎలా గుర్తించవచ్చో అర్థం చేసుకున్నాడు. అలాంటి విచక్షణ సహాయంతో మూలకాల అణుభారాల సమస్యని ఎలా పరిష్కరించవచ్చో తెలుసుకున్నాడు. అలాగే అణుభారానికి, తుల్యభారానికి మధ్య తేడా గుర్తించడం కూడా ఎంత ముఖ్యమో అతడు తెలుసుకున్నాడు.

ఈ విషయం మీద కానిత్సారో ఆ సమావేశంలో గట్టిగా బల్లగుద్ది ప్రసంగించాడు. ప్రసంగం తరువాత తన పరిశోధనలని మరింత వివరంగా వర్ణించే పరిశోధనా పత్రం యొక్క ప్రతులని సమావేశంలో నలుగురికీ పంచాడు. తన ప్రయాసకి ఫలితంగా నెమ్మదిగా రసాయనిక ప్రపంచం అతడి భావాల దిశగా మొగ్గు చూపింది. అప్పటి నుండి అణుభారాల విషయంలో స్పష్టత  ఏర్పడింది. బెర్జీలియస్ ప్రచురించిన అణుభారాల పట్టిక యొక్క ప్రాముఖ్యత అందరికీ అర్థమయ్యింది.

కర్బన రసాయన చరిత్రలో ఈ సమావేశం ఒక మైలు రాయి అనుకోవాలి. ఈ పరిణామంతో ప్రయోగవేద్య సూత్రాలని అందరూ  ఒప్పుకునే పరిస్థితి ఏర్పడింది. ప్రయోగవేద్య సూత్రాలు కుదురుకున్నాక వాటిని ఉపయోగించి నిర్మాణ సుత్రాలని రూపొందించడానికి వీలయ్యింది. ఆ నిర్మాణ సూత్రాలని కూడా ముందు రెండు మితులు గల సమతలం లోను, తరువాత త్రిమితీయ ఆకాశం లోను రూపొందించడానికి వీలయ్యింది. ఈ రకమైన రూపకల్పనకి కొన్ని ఉదాహరణలు కిందటి అధ్యాయంలో ఇవ్వబడ్డాయి.

అకర్బన రసాయన శాస్త్రంలో కూడా ఈ పరిణామాలకి ఎన్నో సత్ఫలితాలు కనిపించాయి. ఇప్పుడు మూలకాలని ఒక హేతుబద్ధమైన క్రమంలో, పెరుగుతున్న పరమాణు భారపు క్రమంలో, ఏర్పాటు చెయ్యడానికి వీలయ్యింది. అది జరిగాక రసాయన శాస్త్రవేత్తలు ఆ పట్టికని ఓ నవీన దృక్పథంతో చూడడం మొదలెట్టారు.


(ఇంకా వుంది)

కప్పలో దాగిన పాము ఏదీ?

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Friday, November 21, 2014 0 comments

పచ్చయ్యప్పార్ కాలేజిలోనే సింగారవేలు ముదలియార్ అనే ఓ సీనియర్ లెక్కల ప్రొఫెసరు ఉండేవారు. ఈయన ప్రఖ్యాత గణిత పత్రికలలో అచ్చయ్యే సమస్యలు తెచ్చి రామానుజన్ కి చూపించి, వాటి పరిష్కారాలు కనుక్కోమని ప్రోత్సహించేవారు. కొన్ని సార్లు లెక్క తెగకపోతే ఆ లెక్కని తెచ్చి శిష్యుడు గురువుకి చూపించేవాడు. శిష్యుడికి రాని లెక్క గురువుకి కూడా మింగుడు పడేది కాదు.
క్రమంగా పచ్చయ్యప్పార్ కాలేజిలో కూడా రామానుజన్ యొక్క గణిత మేధస్సుకి గుర్తింపు పెరిగింది. అయితే కుంభకోణంలో అనుభవానికి ఇక్కడ అనుభవానికి ఒక విధంగా పెద్దగా తేడా లేకపోయింది. ప్రభుత్వకాలేజిలో కూడా గణితంలో ఓ వెలుగు వెలిగినా ఇంగ్లీష్ లో వెనుకబడడం వల్ల సమస్యలు తలెత్తాయి. ఈ కొత్త కాలేజిలో ఇంగ్లీష్ సమస్య కాలేదు గాని ఇంగ్లీష్ కి బదులు ‘జీవక్రియా శాస్త్రం’ (physiology)  రామానుజన్ పాలిటి గుదిబండ అయి కూర్చుంది. 

శుద్ధ శాకాహారి అయిన రామానుజన్ కి జంతు శరీరాల అంగాంగ నిర్మాణం గురించి తెలుసుకోవడం రోత పుట్టించేది. పోనీ ఊరికే సైద్ధాంతికంగా ముక్కునబట్టి ఆ సమాచారం అంతా పరీక్షల్లో ఒలకబోసి, అయింది అనిపించడానికి లేదు. జంతు కళేబరాల మీద ప్రయోగాలు చేసి, పరిచ్ఛేదాలు చేసి తెలిసిన పరిజ్ఞానాన్ని ప్రదర్శించాలి. ఆ పరిచ్ఛేదాలు ఎలా చెయ్యోలో పాఠ్యపుస్తకం సవివరంగా వర్ణించేది.
“అప్పుడే ప్రాణము పోయి, ఇంకా చర్మము వొలవని ఓ కుందేటి కళేబరాన్ని ముందుగా సమకూర్చుకోవలెను.  శవమును బోర్డు మీద వెల్లకిలా పడుకోబెట్టవలెను.  నాలుగు కాళ్లను మేకులతో బోర్డుకి కొట్టి శవమును కదలకుండా స్థిరపరచవలెను. ఇప్పుడు ఓ చిన్న పదునైన కత్తిని, ఓ కత్తెరను తీసుకుని అతి  సున్నితముగా…”
ఇలాంటి వర్ణనలు చదువుతున్న రామానుజన్ కి ఒంటి మీద తేళ్లు జెర్రులు పాకుతున్నట్టు ఉండేది.
గణితంలో అంత లోతైన పరిజ్ఞానం వున్నా తక్కిన వైజ్ఞానిక విభాగాలతో పెద్దగా పరిచయంగాని, వాటి మీద ఆసక్తి గాని లేకపోవడం ఒక సమస్య అయితే, మాంసాహారాన్ని నిషేధించే సాంప్రదాయం మరో  సమస్య. పైగా శరీరం యొక్క అంతరంగ నిర్మాణం గురించి గతంలో యోగ సాహిత్యంలో కొన్ని విషయాలు చదివి వున్నాడు. మానవ శరీరంలో కొన్ని ‘నాడు’లు ఉంటాయని, ఆ నాడులు చైతన్య కేంద్రాలైన కొన్ని ‘చక్రాల’ని కలుపుతాయని విన్నాడు. అన్నిటికన్నా అడుగున ఉన్న చక్రంలో కుండలిని అన్న పేరు గల ఓ శక్తి నిద్రాణ స్థితిలో ఉంటుందని, యోగ సిద్ధి కలిగినప్పుడు ఆ శక్తి సర్పంలా జరజర పాకుతూ నాడుల ద్వారా పైకి పోతుందని – ఇలా గతంలో యోగ సాహిత్యంలో తను చదివిన ఏవేవో విషయాలు తన మనసు మెదులుతున్నాయి. ఇక్కడ గురువులు చెప్పే శరీర నిర్మాణానికి గతంలో తను చదువుకున్న యోగ సాహిత్యానికి ఎక్కడా పొంతన కుదరడం లేదు. ఆధునిక నాడీ విజ్ఞానానికి (neuroscience), యోగ సాహిత్యంలో చెప్పే నాడీవిజ్ఞానాన్కి ఎక్కడా సంబంధం లేదని అతడికి తెలీదు. ఓ సారి జీవశాస్త్రానికి చెందిన ప్రయోగశాలలో ఓ ప్రొఫెసరు కప్ప కళేబరాన్ని పరిచ్ఛేదించి అందులోని అవయవాలని ప్రదర్శిస్తున్నాడు. ‘మరి అందులో ఓ పాము ఉండాలే, ఏదీ?’ అని అమాయకంగా అడిగాడట రామానుజన్.

మొత్తం మీద ఈ అనుభవాల వల్ల రామానుజన్ కి జీవక్రియా శాస్త్రం మీద ముందే ఉన్న ఏవగింపు భావం కాస్తా గాఢమైన  జుగుప్సగా మారిపోయింది. అందుకేనేమో, ఒక సారి జీర్ణమండలం మీద పరీక్ష రాయాల్సి వచ్చినప్పుడు, పరీక్షా పత్రంలో కేవలం నాలుగు మాటలు మాత్రం రాసి బయటిక్కొచ్చాడట – “జీర్ణమండలం మీద అధ్యయనం నాకు జీర్ణం కాలేదనడానికి ఇది నిదర్శనం.”
ఆ విధంగా లెక్కల్లో నూటికి నూరు కన్నా ఎక్కువ వచ్చినా జీవక్రియా శాస్త్రంలో పట్టుమని పది శాతం కూడా రాలేదు. మిగతా సబ్జెక్ట్ లలో కూడా మార్కులు ఆకాశాన్నంటకపోయినా గౌరవప్రదంగానే ఉన్నాయి. జీవక్రియా శాస్త్రంలో తప్పడం వల్ల 1906  లో ఎఫ్. ఏ. పరీక్ష లో తప్పాడు. మరుసటేడు కూడా పరీక్ష రాశాడు. మళ్లీ తప్పాడు.

కుంభకోణంలో జరిగిన పరాభవమే మళ్లీ జరిగింది. లెక్కల్లో రామానుజన్ ప్రతిభని కాలేజి నిస్సందేహంగా గుర్తించింది. పట్టం మాత్రం ఇవ్వనని మొరాయించింది. 

పారితోషకం రద్దు కావడం, పరీక్షల్లో తప్పడం, పట్టా చేజారిపోవడం – వీటి వల్ల రామనుజన్ జీవితం దుర్భరం అయిపోయింది. కొడుకు చదువు తండ్రికి తలకి మించిన భారం అయిపోయింది. చీరల అంగడిలో గుమాస్తాగా పని చేసే తండ్రికి నెలకి ఇరవై  రూపాయలకి మించి వచ్చేవి కావు. ఉన్న ఇంట్లో ఒక వాటా అద్దెకి ఇచ్చేవారు. దాంతో మరో పదో పరకో వచ్చేవి. తల్లి గుళ్ళో పాటలు పాడి మరో నాలుగు డబ్బులు తెచ్చేది. ఈ ఆదాయంతో ఇల్లు గడవడం కష్టమయ్యేది. దారిద్ర్య రేఖకి అతి దగ్గరగా జీవితం భారంగా సాగేది.

రామానుజన్ ఆర్థిక పరిస్థితిని కాలేజిలో తన మిత్రులు గమనించి అడపాదపా సహాయం చేసేవారు. ఒకసారి కాలేజికి వెళ్ళడానికి ‘ట్రామ్’ ఎక్కబోతుంటే గాలికి టోపీ ఎగిరిపోయింది. రామానుజన్ కి సంస్కృతం చెప్పే లెక్చరరుకి తన క్లాసులో పిల్లలు తమ పిలకలు కనిపించకుండా టోపీ పెట్టుకు రావాలని ఓ నియమం పెట్టాడు. టోపీ లేకుండా క్లాసుకు వచ్చిన రామానుజన్ ని పిలిచి వెంటనే బజారుకి వెళ్లి టోపీ కొనుక్కు రమ్మన్నాడు. టోపీ కొనుక్కోవడానికి నాలుగు అణాలు కూడా లేవని క్షమాపణ కోరాడు రామానుజన్. తన దుస్థితిని గుర్తించిన తోటి విద్యార్థులు సహాయం చేసి గండం గట్టెక్కించారు.

కాలీజి చదువు అచ్చి రాక  కుంభకోణానికి తిరిగొచ్చిన రామానుజన్ కి గడ్డు కాలం తీరలేదు. ఆకలిబాధ శ్రుతి మించితే కొన్ని సార్లు పొరుగుననే ఉన్న ఓ అవ్వ పిలిచి ఇంత బువ్వ పెట్టేది. అప్పూడప్పుడు  ఎస్. ఎమ్. సుబ్రమణియన్ అనే స్నేహితుడు ఇంటికి ఆహ్వానించి ప్రేమగా రెండు దోసెలో, ఇడ్లీలో తినిపించేవాడు. ఎదిగిన కొడుకు ఇంట్లో కూర్చుని తినడం భావ్యం కాదని రామానుజన్ నాలుగు డబ్బులు సంపాదించాలని సంకల్పించాడు. విశ్వనాథ శాస్త్రి అనే పిల్లవాడికి నెలకి ఏడు రూపాయల వేతనానికి ట్యూషన్ చెప్పడానికి ఒప్పుకున్నాడు. ఊరికి అవతలి చివర ఉన్న విశ్వనాథుడి ఇంటికి వెళ్లి ఆల్జీబ్రా, జ్యామెట్రీ, త్రికోణమితి మొదలైన అంశాల మీద పాఠం చెప్పేవాడు.

ఈ బోధన కాస్త విడ్డూరంగా ఉండేది. ఆ పాఠంలో పుస్తకం నుండి తీసుకున్నది తక్కువ, పుస్తకంలో లేనిది ఎక్కువగా ఉండేది. ఏదైనా సమస్య ఎలా చెయ్యాలో విశ్వనాథుడికి అర్థం కాకపోతే, మర్నాడు మరో కొత్త పద్ధతి చెప్పేవాడు గురువు. అది మర్చి పోతే ఆ మర్నాడు మరో పద్ధతి. ఇలా నానాటికి కొత్త కొత్త పధ్ధతులతో నిత్య నూతనంగా సాగేది బోధన. కొన్ని సార్లు లెక్కల పాఠం కాస్తా తత్వ చింతనలోకి దిగేది. “చూడడానికి, అర్థం చేసుకోడానికి అసలు ఎవరూ లేని తొలి దశలలో విశ్వం ఎలా ఉండేది?” అని అడిగేవాడు. పాఠంతో సంబంధం లేకుండా సాగే ఈ వ్యవహారం విశ్వనాథ శాస్త్రికి స్ఫూర్తి దాయకంగానే ఉండేది కాని మరి కొందరు శిష్యులకి నచ్చేది కాదు. “ఏంటో ఎప్పుడు చూసినా, అనంతరాశుల గురించి అత్యల్ప రాశుల గురించి మాట్లాడేవాడు. ఈ పాఠానికి నా పరీక్షకి మధ్య లంకె కనిపించలేదు. అందుకే మానేశాను,” అన్నాడు మరో ట్యూషన్ శిష్యుడు.

దాంతో కథ మళ్ళీ మొదటికొచ్చింది. పారితోషకం పోయింది. పట్టం పోయింది.  పట్టు మని నాలుగు రూపాయలు సంపాదించే అవకాశాన్నిచ్చిన ట్యూషన్లు కూడా అందిరాకుండా పోయాయి.
ఇక రోజంతా ఏ పనీ ఉండదు. మిగతావన్నీ చేజారిపోయినా ఇప్పుడు చేతుల నిండా తీరిక వుంది. ఆ తీరికని సద్వినియోగం చేసుకోవాలనుకున్నాడు.


గణిత ప్రపంచంలోకి ఏకాంత సాహస యాత్ర మీద బయల్దేరాడు.

(ఇంకా వుంది)

ఆవర్తన పట్టిక

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Thursday, November 20, 2014 0 comments

 అధ్యాయం 8

ఆస్తవ్యస్తంగా మూలకాలు

పందొమ్మిదవ శాతాబ్దానికి చెందిన కర్బన రసాయన చరిత్రకి, అకర్బన రసాయన చరిత్రకి మధ్య లోతైన పోలికలు ఉన్నాయి. ఆ శతాబ్దపు తొలి దశలలో కర్బన రసాయనాల సంఖ్య పెరుగుతూ వచ్చింది. అలాగే మూలకాల సంఖ్య కూడా పెరుగుతూ వచ్చింది. ఆ శతబ్దంలో ఐదవ, ఏడవ దశకాల మధ్య కాలంలో కేకులే అందించిన సూత్రాల పుణ్యమా అని కర్బన రసాయనాలని ఒక క్రమంలో ఏర్పాటు చెయ్యడానికి వీలయ్యింది. అలాగే మూలకాలని కూడా ఒక క్రమంలో ఇమడ్చడానికి వీలయ్యింది. ఈ పరిణామాలకి కారణభూతమైన సంఘటనలలో ఓ అతిముఖ్య సంఘటన రసాయన శాస్త్రవేత్తలు ఏర్పటు చేసుకున్న ఓ ప్రముఖ అంతర్జాతీయ సమావేశం.

ఆ కథ గురించి చెప్పుకోబోయే ముందు శతాబ్దపు ఆరంభంలో ఉండే అల్లకల్లోల పరిస్థితితో మొదలుపెడదాం.
ప్రాచీనులకి తెలిసిన తొమ్మిది మూలకాల గురించి, మధ్యయుగపు పరుసవేదులకి తెలిసిన నాలుగు మూలకాల గురించి ఈ పుస్తకం ఒకటవ భాగంలో నాలుగవ అధ్యాయంలో చెప్పుకున్నాం. వాయురూపంలో ఉండే మూలకాలైన నైట్రోజన్, హైడ్రోజన్, ఆక్సిజన్, క్లోరిన్ లు పద్దెనిమిదవ శతాబ్దంలోనే కనుగొనబడ్డాయి. అలాగే లోహాలైన కోబాల్ట్, ప్లాటినమ్, నికెల్, మాంగనీస్, టంగ్‍స్టన్, మాలిబ్డినమ్, యురేనియమ్, టైటేనియమ్, క్రోమియమ్ లని కూడా ఆ శతాబ్దంలోనే కనుక్కున్నారు.

పందొమ్మిదవ శతాబ్దపు తొలి దశకంలోనే పద్నాలుగు కొత్త మూలకాలు అంతవరకు తెలిసిన  మూలకాల పట్టికకు తోడయ్యాయి. ఈ పుస్తకంలో (మొదటి భాగంతో కలుపుకుని) పేర్కొన్న రసాయన శాస్త్రవేత్తలనే తీసుకుంటే  విద్యుత్ విశ్లేషణా పద్ధతితో డేవీ ఆరు మూలకాలని శుద్ధి చేశాడు. గే-లుసాక్ మరియు థెనార్ లు బోరాన్ ని (boron) శుద్ధి చేశారు. వొలాస్టన్ పలాడియమ్  ని (palladium), రోడియమ్ ని (rhodium) శుద్ధి చేశాడు. బెర్జీలియస్ సీరియమ్ (cerium) ని కనుక్కున్నాడు. 

అలాగే బ్రిటిష్ రసాయన శాస్త్రవేత్త  స్మిత్సన్ టెనంట్ (1761-1815) (వొలాస్టన్ ఇతడి వద్దనే అనుచరుడిగా పని చేశాడు) ఆస్మియమ్ (osmium) ని, ఇరిడియమ్ (iridium) ని కనుక్కున్నాడు. చార్లెస్ హాచెట్ (1765-1847) అనే మరో బ్రిటిష్ శాస్త్రవేత్త కొలంబియమ్ (columbium)  ని శుద్ధి చేశాడు. దీన్నే ఇప్పుడు సాధికారికంగా నియోబియమ్ (niobium) అంటున్నారు. ఆండర్స్ గస్టాఫ్ ఎక్బర్గ్ (1767-1813) అనే స్వీడిష్ రసాయన శాస్త్రవేత్త టాంటలమ్ ని  కనుక్కున్నాడు.

తదుపరి దశకాలలో వచ్చిన ఫలితాలు అంత ఘనంగా లేకపోయినా మూలకాల సంఖ్య మాత్రం పెరుగుతూనే వుంది. బెర్జీలియస్ మరి నాలుగు మూలకాలు కనుక్కున్నాడు. అవి – సిలీనియమ్ (selenium), సిలికాన్ (silicon), జిర్కోనియమ్ (zirconium), థోరియమ్ (thorium).  1797 లో లూయీ నికొలాస్ వాక్వెలిన్ బెరీలియమ్ (beryllium) ని కనుక్కున్నాడు.

1830  కల్లా యాభై ఐదు విభిన్న మూలకాలు కనుక్కోబడ్డాయి. ఇన్ని మూలకాలని అధ్యయనం చేసి వాటి లక్షణాలని ఏకరువు పెట్టడం రసాయన శాస్త్రవేత్తలకి తలకి మించిన భారం అయ్యింది. మూలకాల లక్షణాలలో గొప్ప వైవిధ్యం కనిపించింది. వాటి లక్షణాలలో ఒక అమరిక, క్రమం లోపించసాగింది. అసలు అన్ని మూలకాలు ఎందుకు ఉన్నాయి? కనుక్కోవలసినవి ఇంకెన్ని వున్నాయి? పదా? వందా? వెయ్యా? అనంతమా?

తెలిసిన మూలకాలలో ఒక క్రమాన్ని వెతకడం సహజమే. ఆ క్రమం ఏమిటో తెలిస్తే అప్పుడు అన్ని మూలకాలు ఎందుకు ఉన్నాయో అర్థమవుతుందేమో? అప్పుడు వాటి లక్షణాలలో అంత వైవిధ్యం ఎందుకు వుందో అర్థం అవుతుందేమో?

(ఇంకా వుంది)

గురువుని మించిన శిష్యుడు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, November 15, 2014 0 comments

ఇక గత్యంతరం లేక తక్కిన సబ్జెక్ట్ ల మీద కూడా ఇష్టం లేకపోయినా ధ్యాస పెట్టసాగాడు. లెక్కల నుండి ఆ కాస్తంత సమయం కూడా దూరంగా ఉండడం అతడికి రంపపు కోతగా ఉండేది. దానికి తోడు పారితోషకం రద్దు కావడంతో జరిగిన అవమానం. ఆ పరిస్థితిని ఎంతో కాలం భరించలేకపోయాడు. ఇక ఉండలేక 1905 ఆగస్టులో ఎవరికీ చెప్పకుండా ఇంటి నుండి పారిపోయాడు. ఎక్కడి వెళ్లాలో తెలీదు. ఈ నరకం నుండి దూరంగా ఎక్కడికైనా పారిపోవాలి. హౌరా వెళ్లే రైలెక్కి విశాఖపట్టణానికి పారిపోయాడు. అక్కడ ఏం చేశాడో, ఎక్కడ వున్నాడో మొదలైన వివరాలు పెద్దగా లేవు. ఇంట్లో తల్లిదండ్రులు బెంబేలెత్తిపోయారు. తండ్రి చెన్నై, తిరుచినాపల్లి నగరాలకి వెళ్లి ఇంచుమించు ఇంటింటికీ వెళ్లి కొడుకు కోసం గాలించాడట. మొత్తానికి ఎలాగైతేనేం  సెప్టెంబర్ కల్లా పుత్రరత్నాన్ని ఇంటికి తిరిగి తీసుకొచ్చారు.

తొమ్మిదేళ్ల వయసులో ఇలాంటిదే మరో సంఘటన జరిగింది. లెక్కల పరీక్షలో తనకి 45  కి  42  మార్కులు వస్తే తన తోటి విద్యార్థి అయిన చిన్నారి సారంగపాణి అయ్యంగార్ కి 43  వచ్చాయట. లెక్కల్లో ఎప్పుడూ తనదే అగ్రస్థానం కావాలన్న పంతం గల రామానుజన్ ఈ పరిణామాన్ని సహించలేకపోయాడు. తన అవస్థ చూసి జాలి పడ్డ సారంగపాణి అయ్యంగారు ‘పోనీలే! మిగతా సబ్జెక్ట్ లలో నా కన్నా ఎక్కువే వచ్చాయిగా?’ అని ఊరడించబోయాడు. అయినా ఒప్పుకోక ఏడ్చుకుంటూ ఇంటికి పరుగెత్తి పోయి తల్లి ఒడిలో తల దాచుకున్నాడట బాల రామానుజన్.

హై స్కూల్ లో చదువుకునే రోజుల్లో మరో సంఘటన జరిగింది. త్రికోణమితిలో sin(x), cos(x)  మొదలైన ప్రమేయాలని లంబ కోణ త్రిభుజంలోని భుజాల నిష్పత్తులుగా నిర్వచిస్తారు. కాని లంబకోణ త్రిభుజాలతో అసలు సంబంధమే లేకుండా కూడా వీటిని నిర్వచించవచ్చని రామానుజన్ స్వయంగా కనుక్కున్నాడు. అంత చిన్న వయసులో అంత లోతైన రహస్యాన్ని కనుక్కున్నందుకు మురిసిపోయాడు.  కాని తరువాత తెలిసింది ఏంటంటే స్విట్జర్లండ్ కి చెందిన లియొనార్డ్ ఆయిలర్ (Leonhard Euler)  అనే పేరుమోసిన గణితవేత్త ఆ సంగతిని 150  ఏళ్ళ క్రితమే కనిపెట్టాడు. అది తెలుసుకున్న రామానుజన్ సిగ్గుతో క్రుంగిపోయాడు. ఆ విషయం మీద తను రాసుకున్న పత్రాలన్నీ ఎవరూ చూడకుండా అటక ఎక్కించేశాడు.

 ఈ సంఘటలన్నిటిలో రామానుజన్ యొక్క సున్నితమైన మనస్తత్వం కనిపిస్తుంది. ఎవరు ఏ చిన్న మాటన్నా తట్టుకోలేని స్వభావం. కాస్తంత విమర్శను కూడా భరించలేని తత్వం. ఎందరో మేధావులలో ఇలాంటి స్వభావం కనిపిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో ముఖ్యంగా మనకి స్ఫురించే ఉదాహరణ ఐజాక్ న్యూటన్. వైజ్ఞానిక రంగంలో  ఓ శాస్త్రవేత్త  నూతన భావాలని ప్రతిపాదించినప్పుడు తోటి శాస్త్రవేత్తలు వాటిని విమర్శించడం, వ్యతిరేకించడం కద్దు. అంత మాత్రం చేత తోటి శాస్త్రవేత్తల మీద అలిగి, శత్రుత్వాన్ని పెంచుకోవడం విపరీతధోరణి అవుతుంది. న్యూటకి, లీబ్నిజ్ కి  మధ్య పదే పదే జరిగిన సంవాదాలతో న్యూటన్ బాగా విసిగిపోయాడు. ఒక దశలో శాస్త్రవేత్తల సమాజం నుండి దూరంగా ఏకాంతవాసంలో మునిగిపోయాడు న్యూటన్.

అయితే రామానుజన్ విషయంలో అవతలి వారు తన గురించి ఏమనుకుంటున్నారు అన్న విషయానికి ఎక్కువ ప్రాధాన్యత ఇవ్వడం, అవతలి వారు ఏమైనా అంటే సులభంగా నొచ్చుకోవడం మొదలైనవన్నీ కేవలం సాంఘిక రంగానికే పరిమితం. గణిత రంగంలో మాత్రం ‘ఊరంతటిదీ ఒక దారైతే…’ అన్నట్టే ఉండేవాడు. సమస్య పాతదే అయినా తనకంటూ ఓ కొత్త మార్గాన్ని ఏర్పరచుకుని ఆ దారిలో పురోగమించి ఆశ్యర్యకరమైన ఫలితాలు సాధించేవాడు. ఈ రంగంలో మాత్రం అన్యులు ఏర్పాటు చేసిన బాటలో నడవాలని అనుకునేవాడు కాడు.

కుంభకోణంలో చదువు పూర్తయ్యాక  1906  లో రామానుజన్ చెన్నై లో పచ్చయ్యప్పార్ కాలేజిలో చేరాడు. కాలేజిలో చేరిన తొలిరోజుల్లోనే రామానుజన్ పరిస్థితిలో సత్పరిమాణాలు కనిపించాయి. కాలేజిలో తనకి  పరిచయమైన ఓ లెక్కల టీచరు తన నోట్సు పుస్తకాలు చూపించాడు. అవి చూసి అదిరిపోయిన లెక్కల టీచరు వాటిని కాలేజి ప్రిన్సిపాలు కి చూపించాడు. అవి చూసిన ప్రిన్సిపాలు రామానుజన్ ప్రతిభ గుర్తించి వెంటనే పాక్షిక పారితోషకం మంజూరు చేశాడు.

అదే కాలేజిలో ఎన్. రామానుజాచారియర్ అనే మరో లెక్కల టీచర్  తో కూడా రామనుజన్ పరిచయం, సాన్నిహిత్యం పెరిగింది. రామానుజన్ సత్తా మీద ఈయనకి బాగా గురి కుదిరింది. క్లాసులో కొన్ని సార్లు ఈయన బోర్డు మీద చాంతాడంత లెక్కలు చేసేవాడు. రామానుజన్ లేచి నించుని అదే లెక్కని రెండు మూడు మెట్లలో ఎలా చెయ్యాలో చెప్పేవాడు. కొద్దిగా చెముడు ఉన్న టీచరు కాస్త ముందుకి వంగి, చెవి క్లాసుకి ఒప్పజెప్పి, “ఏవంటావ్ రామానుజన్?” అని అడిగేవాడు. సముద్రాన్ని లంఘించిన పవనకుమారుడిలా అంత పొడవాటి లెక్కని మూడు అంగల్లో దాటే రామానుజన్ సత్తా చూసి తోటి విద్యార్థులు నోరెళ్లబెట్టేవారు.


(ఇంకా వుంది)

మూడు మితులలో అణువులు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Wednesday, November 12, 2014 0 comments

జర్మన్  రసాయన శాస్త్రవేత్త యోహాన్ ఫ్రీడ్రిక్ విల్హెల్మ్ అడోల్ఫ్ ఫాన్ బాయర్ (1835-1917) కూడా ఈ దిశలో కొన్ని ముఖ్యమైన పరిశోధనలు చేశాడు. 1885 లో ఇతడు అణువుల త్రిమితీయ దర్శనాన్ని విస్తరింపజేస్తూ తలీయ వలయాలుగా (planar rings)  ఏర్పాటైన కార్బన్ పరమాణువులని అధ్యయనం చెయ్యసాగాడు. కార్బన్ పరమాణువులోని నాలుగు బంధాలు ఒక టెట్రహెడ్రన్ యొక్క నాలుగు కొసలని సూచిస్తున్నప్పుడు ఆ బంధాలలో ఏ రెండు బంధాల మధ్యన అయినా 109.5  డిగ్రీల కోణం ఉంటుంది. ఏ కర్బన అణువులో నైనా కార్బన్ బంధాల మధ్య కోణం దాని సహజ విలువకి వీలైనంత సన్నిహితంగా ఉండే ప్రవృత్తి వుంటుందని బాయర్ వాదించాడు. ఆ కోణాన్ని బలవంతంగా మార్చినప్పుడు ఆ పరమాణువు మీద వత్తిడి తెచ్చినట్టు అవుతుంది.

మూడు కార్బన్  పరమాణువులు వలయాకారంలో సంధించబడితే అవి ఒక సమబాహు త్రిభుజాన్ని (equilateral triangle) ఏర్పాటు చేస్తాయి. అంటే పక్క పక్క బంధాల మధ్య కోణం 60  డిగ్రీలు ఉంటుంది. కార్బన్ బంధాల మధ్య సహజ కోణం అయిన 109.5  డీగ్రీలకి ఈ కోణానికి మధ్య చాలా తేడా వుంది. ఆ కారణం చేత మూడు కార్బన్ పరమాణువుల చేత ఏర్పడ్డ వలయాలని రూపొందించడం కష్టమని, ఒక వేళ అవి రూపొందినా వాటిని విచ్ఛిన్నం చెయ్యడం చాలా సులభమని బాయర్ వాదించాడు.

అలాగే నాలుగు కార్బన్లు ఒక వలయంలా ఏర్పడినప్పుడు ఒక చదరం ఏర్పడుతుంది. అంటే పక్క పక్క బంధాల మధ్య 90  డిగ్రీలు అవుతుంది. ఐదు కార్బన్ల వలయం పంచభుజి (pentagon) అవుతుంది. అందులో కోణం 108  డిగ్రీలు అవుతుంది. ఆరు కార్బన్ల వలయం షడ్భుజిగా ఏర్పడగా అందులో కోణం 120  డిగ్రీలు అవుతుంది. దీన్ని బట్టి ఐదు కార్బన్ల వలయంలో కార్బన్ పరమాణువుల మధ్య పెద్దగా ఒత్తిడి వుండదని అర్థమవుతోంది. అలాగే 6  కార్బన్ల వలయంలో కొద్దిగా ఒత్తిడి ఉంటుందని తెలుస్తోంది.  ఆ విధంగా ఐదు గాని, ఆరు గాని కార్బన్ పరమాణువులు ఉన్న వలయాలు ప్రకృతిలో ఎందుకు మరింత అధికంగా ఉంటాయో, ఐదుకి తక్కువ గాని, ఆరు కన్నా ఎక్కువగాని కార్బన్లు వున్న వలయాలు ఎందుకంత తక్కువో బాయర్ చెప్పిన ఈ ఒత్తిడి సిద్ధాంతం వివరిస్తుంది.

ఇంత కన్నా సంచలనాత్మకమైన ఫలితాలు జర్మన్ రసాయన శాస్త్రవేత్త ఎమిల్ ఫిషర్ (1852-1919) సరళమైన చక్కెరల మీద చేసిన పరిశోధనల నుండి పుట్టాయి. ఎన్నో సర్వసామాన్యమైన చక్కెరలకి ఒకే రసాయన సూత్రం ఉండడం గమనార్హం. ఆ సూత్రం – C6H12O6. అలాగే వాటన్నిటికీ ఎన్నో సామాన్య రసాయన లక్షణాలు కూడా వున్నాయి. కొన్ని తేడాలు కూడా వున్నాయి. ఆ తేడాలు వాటి కాంతీయ ప్రవృత్తికి సంబంధించినవి.

ఈ చక్కెరలలో ప్రతి ఒక్క దాంట్లో నాలుగు అసౌష్టవమైన కార్బన్ లు ఉంటాయని ఫిషర్ నిరూపించాడు. ఆ కారణం చేత వాంట్ హోఫ్ – ల బెల్ సిద్ధాంతం బట్టి పదహారు కాంతీయ సదృశాలు ఉండాలని కూడా నిరూపించాడు. ఈ సదృశాలని ఎనిమిది జంటలుగా ఏర్పరచవచ్చని కూడా చూపించాడు. ప్రతీ జంటలోను ఒక రసాయనం ధృవీకృత కాంతిని సవ్య దిశలో ఎంత మేరకి తిప్పితే, అదే జంటలో  రెండవ రసాయనం ఆ కాంతిని అంతే మేరకు అపసవ్య దిశలో తిప్పుతుంది.

ఈ పదహారు సదృశాలలో పరమాణువుల అమరిక కచ్చితంగా ఎలా వుందో పరిశోధించడం మొదలుపెట్టాడు ఫిషర్. ఆరు కార్బన్లు ఉన్న చక్కెరలలో కచ్చితంగా పదహారు సదృశాలు ఉండడం, వాటిని ఎనిమిది జంటలుగా విభజించడానికి వీలుకావడం, మొదలైనవి వాంట్ హోఫ్ – ల బెల్ సిద్ధాంతానికి మరింత సమర్ధనని తెచ్చిపెట్టాయి. ఇలాంటి సైద్ధాంతిక ఫలితాలు మరిన్ని ఇతర చక్కెరల విషయం లోను, అమినో ఆసిడ్ల విషయంలోను, తదితర అన్ని రకాల సమ్మేళనాల లోను సాధించడానికి వీలయ్యింది.

1900  కల్లా అణువులని త్రిమితీయ ఆకాశంలో వర్ణించే పద్ధతికి విశ్వజనీనమైన ఆమోదం దక్కింది.





గణిత శిక్షణలో తొలి పాఠాలు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Friday, November 7, 2014 0 comments

గణిత శిక్షణలో తొలి పాఠాలు

టౌన్ హై బడిలో చదువు పూర్తయిన కొన్ని నెలలకి ఓ చక్కని లెక్కల పుస్తకం రామానుజన్  చేతిలో పడింది. కాస్త అవిశేషమైన పుస్తకమే అయినా కొన్ని కారణాల వల్ల ఆ పుస్తకం రామానుజన్ కి అసలైన గణిత ప్రపంచానికి పరిచయ గ్రంథం అయ్యింది. ఆ పుస్తకం పేరు – A synopsis of Elementary results in Pure and Applied Mathematics. దాని రచయిత పేరు జార్జ్ షూ బ్రిడ్జ్ కార్ (George Shoebridge Carr). “ఆ పుస్తకం అంత గొప్ప పుస్తకమేమీ కాదు. రామానుజన్ వల్ల దాని ప్రసిద్ధి పెరిగింది,” అంటాడు ఆ పుస్తకం గురించి ఓ గణిత వేత్త.

పందొమ్మిదవ శతాబ్దపు చివరి భాగంలో ఇంగ్లండ్ లో ట్రైపోస్ (Tripos) అనే కఠినమైన ప్రవేశ పరీక్ష ఉండేది. ఆ పరీక్ష పాసయితే ఎన్నో అవకాశాలు ఏర్పడతాయి కనుక ఆ పరీక్షలో పాసు కావడానికి విపరీతమైన పోటీ ఉండేది. ప్రవేశ పరీక్షలు ఉన్నచోట ‘కోచింగ్ సెంటర్లు’ పుట్టకొక్కుల్లా ఎలా పుట్టుకొస్తాయో  మనకి తెలుసు. అలాగే ట్రై పోస్ పరీక్ష పాసయ్యేందుకు గాను తగిన శిక్షణ ఇవ్వడానికి ఎంతో మంది టీచర్లు ముందుకొచ్చారు. అలాంటి వారిలో ఈ కార్ ఒకడు.

ప్రవేశ పరీక్ష చదువులకి అనువుగా ఉంటుందని పరీక్షకి సంబంధించిన లెక్కల ‘సిలబస్’ అంతటినీ రెండు పుస్తకాలకి కుదించి రాశాడు. సుమారు ఐదువేల సిద్ధాంతాలు, సూత్రాలు, సమీకరణాలు వరుసగా ఓ పట్టికలా ఈ పుస్తకాలలో ఇవ్వబడ్డాయి.  బీజగణితం (algebra), త్రికోణమితి (trigonometry), జ్యామితి (geometry) మొదలుకుని ఎన్నో గణిత విభాగాలకి చెందిన సిద్ధాంతాలని ఆ విధంగా తన ‘సైనాప్సిస్’ లో  వర్గీకరించాడు.

గణిత పుస్తకాలలో పరిజ్ఞానాన్ని ప్రదర్శించే తీరులో ఓ ప్రత్యేకత ఉంటుంది. గణిత ఫలితాలని సిద్ధాంతాల రూపంలో వ్యక్తం చేస్తారు. ఆ సిద్ధాంతాలని కూడా ముందు సులభమైనవి ఇస్తూ, క్రమంగా మరింత జటిలమైనవి  పేర్కొనడం జరుగుతుంది. ప్రతీ సిద్ధాంతం వెనుక ఆ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడానికి కావలసిన మెట్లని వివరంగా వర్ణించడం జరుగుతుంది. కాని కార్ రాసిన పుస్తకంలో ఇవేవీ లేవు. వరుస క్రమంలో రచయిత వేలకి వేల సిద్ధాంతాలని ప్రకటిస్తూ పోయాడే గాని ఒక్కచోట కూడా సిద్ధాంతాల నిరూపణ ఇవ్వలేదు. పాఠకులు స్వయంకృషితో ఆ సిద్ధాంతాలని నిరూపించుకోవాలని ఉద్దేశం. అయితే సిద్ధాంతాల కూర్పులో ఓ వరుస క్రమం ఉంది కనుక, ముందు సులభమైన సిద్ధాంతాలని నిరూపించుకోగలిగితే ఆ అనుభవాన్ని ఆసరాగా చేసుకుని తరువాత వచ్చే మరింత జటిలమైన సిద్ధాంతాలని నిరూపించుకోవచ్చు.

ఉదాహరణకి, ఆల్జీబ్రాలో ఓ ప్రాథమిక ఫలితానికి చెందిన ఓ సమీకరణం ఇలా ఇవ్వబడింది.
a2-b2 = (a-b)(a+b)
హై స్కూల్ స్థాయిలో కూడా ఈ సమీకరణాన్ని సులభంగా ఈ విధంగా నిరూపించవచ్చు.
(a-b)(a+b) = a(a+b) – b(a+b) = a2 + ab –ab + b2 = a2-b2
ఈ ప్రాథమిక ఫలితాన్ని పాఠకుడు సొంతంగా నిరూపించుకున్న తరువాత ఈ  సిద్ధాంతం ఎదురవుతుంది.
a3-b3 = (a-b)( a2+ab+b2)
ఈ సారి కూడా కుడి పక్కన ఉండే పదాలని విస్తర్పింపజేసి సమీకరణాన్ని సులభంగ నిరూపించవచ్చు.
(a-b)( a2+ab+b2) = a( a2+ab+b2) - b( a2+ab+b2) = a3 + a2b + ab2 –ba2 - ab2  - b3= a3  - b3
పై రెండు ఫలితాలు ఇచ్చిన తరువాత, వెంటనే వాటి సాధారణ రూపం ఈ విధంగా ఇవ్వబడింది.
an-bn = (a-b)(an-1+ an-2b+ … + bn-1)
అంతకు ముందు ఎదురైన రెండు ఫలితాలని అర్థం చేసుకున్న అనుభవంతో ఈ మరింత సాధారణ ఫలితాన్ని కూడా నిరూపించుకోవాలి.

ఆ విధంగా ఏ వివరణా లేకుండా రామానుజన్ ‘సైనాప్సిస్’ లోని సిద్ధాంతాలని వరుస క్రమంలో నిరూపిస్తూ పోయాడు. ఒక విధంగా వివరణ లేకపోవడం  వల్ల రామనుజన్ కి మేలే జరిగింది. పట్టున పదహారేళ్ళు కూడా నిండని రామానుజన్ ఆ సిద్ధాంతాలని నిరూపించే ప్రయత్నంలో కొత్త పుంతలు తొక్కాడు. సిద్ధాంతాలు పాతవే అయినా వాటిని నిరూపణలో రామానుజన్ గొప్ప నవీనతని, సృజనాత్మకతని ప్రదర్శించాడు.

టౌన్ హై లో చదువు పూర్తయ్యాక రామనుజన్ ప్రభుత్వ కళాశాలలో ఎఫ్. ఏ. కోర్సులో చేరాడు. కళాశాల చిన్నదే. పట్టున ఓ డజను మంది లెక్చరర్లు ఉండేవారు. కాని కుంభకోణంలో  ప్రభుత్వ కళాశాలని ఆ రోజుల్లో దక్షిణ భారత కేంబ్రిడ్జ్ అని పిలిచేవారు. కళాశాలలో చేరిన దగ్గర్నుండీ రామానుజన్ చదువులో ఓ కీలకమైన మార్పు వచ్చింది. అంతవరకు లెక్కల్లో ప్రత్యేక ప్రతిభ చూపించినా లెక్కలతో పాటు తక్కిన సబ్జెక్ట్ లలో కూడా తగినంత శ్రధ్ధ చూపించేవాడు. కాని కళాశాలలో చేరేసరిగి లెక్కల మీద సహజంగా ఉండే అభిమానం ఒక పిచ్చిగా మారింది. లెక్కల క్లాసులకి తప్ప మిగతా క్లాసులకి వెళ్ళేవాడు కాడు. ఎప్పుడు చూసినా ఏవో గణిత సూత్రాలు రాసుకుంటూ ఉండేవాడు. “అసలు తన చుట్టూ ఏం జరుగుతోందో కూడా పట్టేది కాదు,” అంటాడు తన స్నేహితుడు ఎన్. హరి రావు. ఈ హరి రావుకి రామానుజన్ ‘మాయా చదరాలు’ (magic squares)   ఎలా నిర్మించాలో నేర్పించాడు. ఈ చదరాలలో గడి రూపంలో అంకెలు పూరించాలి. ప్రతీ వరుసలోను నిలువుగాను, అడ్డుగాను అంకెల కూడిక విలువ ఒక్కటే కావాలి. ఇవి కాక ఆల్జీబ్రా, కాల్కులస్, త్రికోణమితి మొదలైన గణితవిభాగాలలో ఎక్కడెక్కడి నుండో లెక్కలు తెచ్చి వాటిని పరిష్కరిస్తూ కూర్చునేవాడు.

ఈ ప్రయత్నంలో పి.వి. శేషు అయ్యర్ అనే లెక్కల లెక్చరరు ఎంతో ప్రోత్సహించేవాడు. లండన్ నుండి ప్రచురితం అయ్యే ‘Mathematical Gazette’  అనే గణిత పత్రికలో అచ్చయ్యే సమస్యలు తెచ్చి ఇచ్చి వాటి పరిష్కారం కోసం ప్రయత్నించమని రామానుజన్ ని ప్రోత్సహించేవాడు. ఈ దశలో అనంత శ్రేణులు (infinite series)  అనే అంశంలో రామానుజన్ గొప్ప ‘నవీనతని, మేధస్సును’ ప్రదర్శించాడని శేషు అయ్యరే ఒప్పుకున్నాడు.

గణితంలో ఎంత దుమారం లేపుతున్నా తక్కిన సబ్జెక్ట్ లని అశ్రద్ధ చెయ్యడం వల్ల సమస్యలు తలెత్తాయి. 1897  లో ఇంగ్లీష్ వ్యాసరచనలో తప్పడం వల్ల అతడి పారితోషకం రద్దయ్యింది. తల్లి ఆ పరిణామాన్ని సహించలేకపోయింది. గణితంలో అసమాన మేధావి అయిన తన కొడుక్కి పారితోషకం రద్దు చెయ్యడవేంటి? అని వెళ్ళి ప్రిన్సిపాల్ తో పోట్లాట వేసుకుంది. కాని ప్రిన్సిపాలు ‘రూల్సు, రూల్సే’ నని పట్టు బట్టాడు.

 (ఇంకా వుంది)

టెట్రహెడ్రన్ ఆకారంలో కార్బన్ పరమాణువు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Wednesday, November 5, 2014 0 comments

ఈ అమరికని ఊహించుకోవాలంటే కార్బన్ యొక్క మూడు బంధాలని ఒక ట్రైపాడ్ బల్ల యొక్క మూడు కాళ్ల లాగా ఊహించుకోవచ్చు. నాలుగవ బంధం నేరుగా పైకి తిరిగి వుంటుంది. ప్రతీ బంధం ఇతర బంధాల నుండి సమదూరంలో ఉంటుంది. ప్రతీ బంధానికి దానికి ఇరుగు పొరుగు బంధాలకి మధ్య కోణం సుమారు 109  డిగ్రీలు ఉంటుంది.



టెట్రహెడ్రన్ ఆకారంలో కార్బన్ పరమాణువు. దాని నాలుగు బంధాలు టెట్రహెడ్రన్ యొక్క నాలుగు కొసల దిశలో తిరిగి వున్నాయి.


ఆ విధంగా కార్బన్ పరమాణువులోని నాలుగు బంధాలు ఆ పరమాణువు చుట్టూ సౌష్టవంగా అమరి ఉంటాయి. ఆ బంధాలకి వేరు వేరు రకాల ఇతర పరమాణువులు గాని, పరమాణు సమూహాలు గాని అతుక్కున్నప్పుడే అసౌష్టవం ఏర్పడుతుంది. అలాంటప్పుడు ఆ నాలుగు సమూహాలని సరిగ్గా రెండు భిన్న రీతుల్లో ఏర్పాటు చెయ్యవచ్చు. ఆ రెండూ ఒక దానికొకటి ప్రతిబింబంలా ఉంటాయి. పాశ్చర్ తన స్ఫటికాలలో గమనించిన అసౌష్టవం కూడా  కచ్చితంగా ఇలాంటిదే.




ఇంచుమించు అదే సమయంలో ఫ్రెంచ్ రసాయన శాస్త్రవేత్త జోసెఫ్ అచీల్ ల బెల్ (1847-1930) అలాంటి సూచనే చేశాడు. అందుకే కార్బన్ పరమాణువు టెట్రహెడ్రన్ ఆకారంలో ఉంటుంది అన్న సిద్ధాంతాన్ని వాంట్ హోఫ్ – ల బెల్ సిద్ధాంతం అంటారు.

ఈ కొత్త టెట్రహెడ్రన్ సిద్ధాంతంతో ఎన్నో వైజ్ఞానిక విశేషాలని వివరించడానికి వీలయ్యింది. అందుకే దాన్ని త్వరలోనే వైజ్ఞానిక సమాజం సమ్మతించింది. ఆ సిద్ధాంతం యొక్క ఫలితాలని వర్ణిస్తూ 1887  లో యోహానెస్ అడోల్ఫ్ విస్లైసెనుస్ అనే జర్మన్ రసాయన శాస్త్రవేత్త ఓ పుస్తకం కూడా రాశాడు. ఆ విధంగా ఆ సిద్ధాంతానికి మంచి పరపతి గల సీనియర్ శాస్త్రవేత్త అండదండలు దొరికాయి.

శాస్త్రవేత్తల ఆమోదాన్ని పక్కన బెడితే ఈ కొత్త సిద్ధాంతం ఇచ్చిన సత్ఫలితాలు గణనీయంగా వున్నాయి. అసౌష్టవమైన బంధాలు గల కార్బన్ పరమాణువులు (వివిధ బంధాలకి వివిధ పరమాణు సమూహాలు అతుక్కుని వున్నవి) ఉన్న సమ్మేళనాలలో కాంతీయ ప్రవృత్తి కనిపించింది. అలాంటి అసౌష్టవం లేని కర్బన రసాయనాలలో అలాంటి ప్రవృత్తి కనిపించలేదు. అంతేకాక కాంతీయ సదృశాల సంఖ్య ఎప్పుడూ వాంట్ హోఫ్ – ల బెల్ సిద్ధాంతం నిర్ణయించిన సంఖ్యతో కచ్చితంగా సరిపోయింది.

జర్మన్ రసాయన శాస్త్రవేత్త విక్టర్ మెయెర్ (1848-1897) నైట్రోజన్ పరమాణువు యొక్క బంధాలని త్రిమితీయ ఆకాశంలో విస్తరించి వున్నట్టుగా పరిగణిస్తే కొన్ని రకాల కాంతీయ సదృశాలని వివరించొచ్చని నిరూపించాడు. ఇవే సూత్రాలు సల్ఫర్, సిలీనియమ్, టిన్ మొదలైన పరమాణువులకి కూడా వర్తిస్తాయని ఇంగ్లీష్ రసాయన శాస్త్రవేత్త విలియమ్ జాక్సన్ పోప్ (1870-1939) నిరూపించాడు. ఈ అధ్యయనాలని కోబాల్ట్, క్రోమియమ్, రోడియమ్ మొదలైన లోహాలకి విస్తరింపజేసినవాడు జర్మన్-స్విస్ శాస్త్రవేత్త ఆల్‍ఫ్రెడ్ వెర్నర్ (1866-1919).

1891  లో వెర్నెర్ మనసులో అణువిన్యాసాన్ని వివరించే ఓ కొత్త ‘సంతులనాత్మక సిద్ధాంతం’ (coordination theory) రూపుదిద్దుకోవడం ఆరంభించింది.  ఈ ఆలోచన అతడికి నిద్రలో వచ్చింది, అర్థరాత్రి 2  గంటలకి ఆ ఆలోచన రాగానే హఠాత్తుగా మెలకువ వచ్చిందని చెప్పుకుంటాడు. అణువులో పరమాణువుల మధ్య నిర్మాణ సంబంధాలు (structural relationships) మామూలు సంయోజనీయ బంధాలకే (covalent bonds) పరిమితం కాదని ఈ సిద్ధాంతం చెప్తుంది. ముఖ్యంగా కొన్ని సమ్మేళనాలలో, ప్రత్యేకించి కొన్ని సంక్లిష్టమైన అకర్బన అణువులలో, ఒక కేంద్ర పరమాణువు చుట్టూ పరమాణు సమూహాలు కొన్ని జ్యామితిబద్ధమైన సూత్రాలని అనుసరించి విస్తరించి వుంటాయని, ఆ విస్తరణకి సంయోజకతతో సంబంధం లేదని ఈ సిద్ధాంతం ప్రతిపాదిస్తుంది. ఇలాంటి నవీన భావాలు వేళ్లూని ఆమోదం పొందడానికి మరో అర్థశతాబ్ద కాలం పట్టింది. సంయోజకత అన్న భావనకి మరిన్ని మెరుగులు దిద్దారు. తదనంతరం ఫ్రాంక్లాండ్, కేకులే మొదలగువారు అందించిన భావాలతో ఒక పక్క సరళమైన సమ్మేళనాలని వివరించడానికి వీలైనట్టే, వెర్నర్ ప్రతిపాదించిన భావాలతో మరింత సంక్లిష్టమైన ‘సంతులనాత్మక సమ్మేళనాల’ని (coordination compounds) కూడా వివరించడానికి వీలయ్యింది.


అణువులకి త్రిమితీయ విన్యాసం ఉంటుందనే భావన మరెన్నో సత్పరిమాణాలకి దారి తీసింది. మామూలుగా ఒక పరమాణు సమూహం తక్కిన అణువుతో ఒకే బంధంతో ముడివడి వున్న పరిస్థితిలో ఆ పరమాణు సమూహం ఆ బంధం మీదుగా తిరగగలదు. కాని కొన్ని సార్లు ఆ అణువులో ఉన్న తక్కిన పరమాణువులు అడ్డుపడడం వల్ల అలాంటి భ్రమణం సాధ్యం కాదని విక్టర్ మెయెర్ నిరూపించాడు. అలాంటి అవరోధాన్ని steric hindrance  అంటారు. దీనికి ఓ చిన్న పోలికని చెప్పుకోవాలంటే… మామూలుగా తలుపు దాని ఇరుసు మీద సాఫీగా తిరుగుతుంది. కాని తలుపు వెనుక ఏదైనా అవరోధం ఉన్నప్పుడు అలా తిరగలేకపోతుంది. ఈ స్టీరిక్ హిండ్రన్స్ వల్ల ఒక అణువు అసౌష్టవంగా ప్రవర్తించే అవకాశం వుందని పోప్ నిరూపించాడు. అణువులోని పరమాణువుల స్థాయిలో అసౌష్టవం లేకపోయినా స్టీరిక్ హిండ్రన్స్ వల్ల అణువు మొత్తం మీద అసౌష్టవం ఏర్పడటం వల్ల అలాంటి సమ్మేళనం కాంతీయ సాదృశ్యాన్ని ప్రదర్శించగలదు.

(ఇంకా వుంది)

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

There was an error in this gadget
There was an error in this gadget

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email