శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

‘రసాయన శక్మం’ (chemical potential)

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Tuesday, February 24, 2015 0 comments

ఈ మధ్య కాలంలో అమెరికన్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త జోసయా విలార్డ్ గిబ్స్ (1839-1903)   ఉష్ణ గతి శాస్త్రపు నియమాలని క్రమబద్ధంగా రసయన చర్యలకి వర్తింపజేస్తూ వచ్చాడు. 1876 – 1878  మధ్య కాలంలో ఈ అంశం మీద ఎన్నో పత్రాలు ప్రచురించాడు.

గిబ్స్ ‘స్వేచ్ఛా శక్తి (free energy)’  అనే కొత్త భావనని రూపొందించాడు. ఉష్ణాన్ని, ఎంట్రొపీ ని తనలోనే కలుపుకున్న వినూత్న రాశి ఇది. ఒక రసాయన చర్య జరిగినప్పుడు దాని స్వేచ్ఛా శక్తి మారుతుంది. స్వేచ్ఛా శక్తి తగ్గితే, ఎంట్రొపీ పెరుగుతుంది – అలాంటి పరిస్థితుల్లో రసాయన చర్య ఎప్పుడూ ముందుకు సాగుతుంది. (స్వేచ్ఛా శక్తి ఎందుకు ప్రాముఖ్యత పొందింది అంటే ఎంట్రొపీ కన్నా దాన్ని కొలవడం సులభం.) ఒక వ్యవస్థలో ఉష్ణం ఎంత మారింది అన్నది ఆ వ్యవస్థలో స్వేచ్ఛా శక్తి ఎంత తగ్గింది, ఎంట్రొపీ ఎంత పెరిగింది అన్న దాని మీద ఆధారపడుతుంది. సామాన్యంగా అప్రయత్నంగా జరిగే  చర్యలో ఉష్ణం తగ్గడం, అంటే ఆ ఉష్ణం వెలువడడం జరుగుతుంది. కాని కొన్ని సందర్భాలలో, అప్రయత్నంగా జరిగే చర్యలో కూడా, దాని స్వేచ్ఛా శక్తి లోను, ఎంట్రొపీ లోను వచ్చే మార్పు ఎలా వుంటుందంటే, ఆ చర్యలో వ్యవస్థ బయట నుండి ఉష్ణాన్నిలోనికి తీసుకుంటుంది.
  

ఒక వ్యవస్థలోని రసాయనాల గాఢతను బట్టి ఆ వ్యవస్థ యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తి ఆధారపడుతుంది అని కూడా గిబ్స్ చెప్పాడు. ఉదాహరణకి  A + B  యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తికి  C + D  యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తికి మధ్య పెద్దగా తేడా లేదని అనుకుందాం. అప్పుడు గాఢతలలో కొద్దిగా మార్పు తెచ్చి తద్వార A + B  యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తి  C + D యొక్క స్వేచ్ఛా శక్తి అన్నా కొన్ని గాఢతల దగ్గర ఎక్కువ, కొన్ని గాఢతల దగ్గర తక్కువగా ఉండేలా చెయ్యొచ్చు. అలాంటప్పుడు కొన్ని గాఢతల వద్ద చర్య అప్రయత్నంగా ఒక దిశలో పురోగమిస్తే, మరి కొన్ని గాఢతల వద్ద వ్యతిరేక దిశలోను పురోగమిస్తుంది.

ఒక వ్యవస్థలో ఒక ప్రత్యేక రసాయనం యొక్క గాఢతని బట్టి దాని స్వేచ్ఛా శక్తి ఎలా మారుతుందో తెలిపే రాశిని ‘రసాయన శక్మం’ (chemical potential)  అంటారు.  ఈ రసాయన శక్మమే రసాయన చర్యని ముందుకి తోసే “ప్రోద్బలం” అని గిబ్స్ నిరూపించాడు. హెచ్చు ఉష్ణోగ్రత ఉన్న స్థితి నుండి తక్కువ ఉష్ణోగ్రత ఉన్న స్థితి వైపుగా ఉష్ణం ప్రవహించినట్టే, హెచ్చు రసాయన శక్మం ఉన్న స్థితి నుండి తక్కువ రసాయన శక్మం ఉన్న స్థితి వైపుగా రసాయన చర్య పురోగమిస్తుంది.

ఈ విధంగా గిబ్స్ ‘సమిష్టి ప్రభావపు నియమాని’కి (law of mass action)  ఓ కొత్త అర్థాన్ని ఇచ్చాడు. సమతాస్థితి వద్ద వ్యవస్థలోని మొత్తం అన్ని రసాయనాల రసాయన శక్మాల మొత్తం కనిష్ట విలువ దగ్గర ఉంటుంది. కనుక  A + B  తో ఆరంభిస్తే, ఆ వ్యవస్థ రసాయన శక్మం అనే “కొండ వాలు” మీదుగా కిందికి దిగుతూ వస్తుంటే  C + D  ఏర్పడతాయి. అలాగే  C + D  తో ఆరంభిస్తే, అది మళ్లీ వాలు మీదుగా కిందికి దిగుతుంటే  A + B  ఏర్పడతాయి.  ఆ రెండు కొండల మధ్య ఉండే “లోయ” లో సమతాస్థితి ఉంటుంది.






(ఇంకా వుంది)

పాశ్చాత్య తీరం దిశగా పయనమయ్యాడు రామనుజన్

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Thursday, February 19, 2015 3 comments

ఉదయం తరచు మద్రాసు లోని ప్రఖ్యాత కన్నెమరా గ్రంథాలయానికి వెళ్లి చదువుకునే వాడు. కొన్ని సార్లు కె.బి. మాథవ అనే ఓ గణాంక శాస్త్రవేత్త (statistician) నుండి గణిత పుస్తకాలు తెచ్చుకుని చదువుకునేవాడు. రాత్రిళ్ళు నారాయణ అయ్యర్ అనే స్నేహితుడితో కలిసి లెక్కలు చేసుకునేవాడు. ఈ నారాయణ అయ్యరు పోర్ట్ ట్రస్ట్ లో పని చేసే రోజుల్లో రామానుజన్ కి ఉన్నతాధికారి. గణితంలో కొంత ప్రవేశం ఉన్నవాడు. ఇద్దరూ రాత్రి తెల్లవార్లూ రెండు పెద్ద పలకల మీద రామానుజన్ ఇంట్లో లెక్కలు చేసుకునేవారు. (పలకల మీద వారి బలపాలు చేసే ‘టక టక’ చప్పుళ్ళకి ఇంట్లో వాళ్లకి నిద్ర కరువయ్యేదట!) ఎన్నో సార్లు రామనుజన్ తన తల్లిని అర్థ రాత్రి లేపమనే వాడట, ఆ నిశాంత నిశా సమయంలో అయితే నిశ్శబ్దంగా, నిరంతరాయంగా లెక్కలు చేసుకోవచ్చని!  గణితంలో పడి ఎన్నో సార్లు అన్నం తినడం మర్చిపోయేవాడట. ఆలోచనా ప్రవాహానికి భంగం కలగకుండా వాళ్ల అమ్మో, అమ్మమ్మో అన్నం ముద్దలు చేసి చేతిలో పెట్టేసేవారట. రామనుజన్ కి అత్యంత ప్రీయమైన వంటకం అయిన గుత్తి వంకాయ చేతిలో పడ్డప్పుడు మాత్రం వ్రత దీక్ష కొంచెం భంగపడేదట!  ఒక పక్క నిలువుగాను, మరో పక్క అడ్డుగాను కోసి మధ్యలో ఉల్లికారం కూరిన వంకాయ, లోకంలో అణువణువునా గణిత చిహ్నాలు చూసే ఆ మేధావికి ఓ అద్భుతమైన గణిత వస్తువులా కనిపించేదేమో!

గణిత అధ్యయనాలు ఒక పక్క అలా ఉధృతంగా సాగుతుండగా, మరో పక్క హార్డికి, రామానుజన్ కి మధ్య ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలు కొనసాగుతూ ఉన్నాయి. నిరూపణలు పంపమని హర్డీ ఒత్తిడి చెయ్యడం, ‘అదుగో, ఇదుగో’ అంటూ రామానుజన్ తాత్సారం చెయ్యడం – ఇలా కొంత కాలం జరిగింది.

హార్డీ తన మిత్రుడైన లిటిల్ వుడ్ కి రామానుజన్  ఉత్తరాల గురించి చెప్పాడు. ‘రామానుజన్ ఇలా ఎందుకు ప్రవర్తిస్తున్నాడో అర్థం కావడం లేదు,’ అన్నాడు.

‘నిరూపణలు తెలిస్తే బహుశ అతడి సిద్ధాంతాలని  నువ్వే చేశానంటావని అతడి భయం కాబోలు,’ అని సూచించాడు లిటిల్ వుడ్.

ఆ విషయమే హార్డీ రామానుజన్ ఓ ఉత్తరంలో రాశాడు. అది చదివిన రామానుజన్ అలాంటిదేం లేదని, బాధపడుతూ రాశాడు. ఈ ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాల వల్ల, దూరభారం వల్ల ఆ దశలో రామానుజన్, హార్డీ ల మధ్య కొంత స్పర్థ ఏర్పడిందనే చెప్పొచ్చు.

పోనీ ఇద్దరి మధ్య ఏర్పడ్డ అపార్థాన్ని తొలగించుకుని, రామానుజన్ సిద్ధాంతాలని లోకం గుర్తించేలా చేసేందుకు గాను, కొంత కాలం రామానుజన్ ఇంగ్లండ్ కి వస్తే బావుంటుందని కూడా హార్డి సూచించాడు. ఆ సూచనకి కూడా రామానుజన్ మొదట సుముఖంగా స్పందించలేదు.

విదేశాలు వెళ్లడానికి రామానుజన్ సుముఖంగా లేకపోడానికి కారణాలు ఎన్నో. ఇంగ్లండ్ కి వెళ్ళడానికి కావలసినంత ధనం ఎక్కణ్ణుంచి సంపాదించాలి? అక్కడ మళ్లీ పరీక్షలు రాయాలా? రాసి తప్పితే తన గతేం కావాలి? ఇలా ఎన్నో ప్రశ్నలు తన మనసులో దొలిచేస్తున్నా, అతి ముఖ్యమైన కారణం మాత్రం ఒకటి వుంది.

ఆ రోజుల్లో బ్రాహ్మణులలో సముద్రాలు దాటి  విదేశాలకి ప్రయాణించకూడదు అన్న నిషేధం ఉండేది. అలా చేసిన వారిని కులం నుండి వెలివేసిన సందర్భాలు ఉన్నాయి. ఈ ఆచారాలకి, నమ్మకాలకి ఎంతో విలువనిచ్చే రామానుజన్ కుటుంబానికే కాక, రామనుజన్ కి కూడా ఆ  ఆలోచన పెద్దగా రుచించలేదు. ముఖ్యంగా ప్రాణానికి ప్రాణంగా చూసుకునే కొడుకుని దూరం చేసుకోవడం కోమలతమ్మకి ససేమిరా ఇష్టం లేదు.

ఈ సందిగ్ధ పరిస్థితికి పరిష్కారంగా రామానుజన్ కుటుంబానికి ఒకే మార్గం కనిపించింది -  కులదేవత అయిన నమక్కళ్ దేవతని దారి చూపమని వేడుకోవడం. డిసెంబర్ 1913  లో రామానుజన్ కుటుంబం మొత్తం నమక్కళ్ వెళ్లి అక్కడ వేలుపు దర్శనం చేసుకున్నారు. రామానుజన్ తో పాటు ప్రాణమిత్రుడైన నారాయణ అయ్యర్ కూడా వచ్చాడు. ఒక విధంగా ఈ నమక్కళ్ వెళ్లే ఆలోచన నారాయణ అయ్యర్ దే.  మూడు రోజులు నమక్కళ్ లోనే బస చేశారు. మొదటి రెండు రోజులూ పెద్దగా ఏమీ జరగలేదు గాని, మూడో రాత్రి రామనుజన్ కి ఓ కల వచ్చింది. కలలో కళ్లు మిరుమిట్లు గొలిపే కాంతిలో నమక్కళ్ దేవత ప్రత్యక్షమై విదేశాలకి వెళ్లమని ఆదేశించిందట. పక్కనే పడుకున్న నారాయణ అయ్యర్ ని లేపి రామానుజన్ తన కల గురించి చెప్పాడు.

ఇలాంటి కలే ఒకటి మరో సందర్భంలో కోమలతమ్మకి కూడా వచ్చింది. ‘రామానుజన్ చుట్టూ కొందరు తెల్ల వారు కూర్చున్నట్టు, తన కొడుకు యొక్క అదృష్టానికి, కొడుక్కి మధ్య తను నించోవద్దని నమక్కళ్ దేవత ఆదేశిస్తున్నట్టు కల!
ఈ కలల మహిమ వల్ల రామానుజన్ కుటుంబం అతడి విదేశీ యానం పట్ల మనసు మార్చుకుంది. ఇప్పుడు ఇంగ్లండ్ కి వెళ్లడానికి రామానుజన్ సుముఖంగా ఉన్నాడు.

సరిగ్గా అలాంటి తరుణం లో ఎరిక్ నెవిల్ (Eric Neville) అనే గణితవేత్త దేవుళ్లా మద్రాస్ కి వచ్చాడు. ఇతడు హార్డీ పంపిన మనిషి. పట్టున ఇరవై  ఐదు కూడా నిండని నెవిల్ గొప్ప సూక్ష్మ బుద్ధి గల గణిత వేత్త. దక్షిణ భారతంలో గణితం మీద ఉపన్యాసాలు ఇవ్వడానికి వచ్చాడు నెవిల్. అదేపనిగా రామానుజన్ ని కూడా కనుక్కుని విషయం తేల్చుకోమని పంపాడు హార్డీ. రామానుజన్ కి రాసిన ఉత్తరాలలో  స్పష్టం చెయ్యకపోయినా హార్డీకి రామానుజన్ ని ఎలాగైనా ఇంగ్లండ్ కి తెప్పించుకోవాలని బాగా పట్టుదలగా ఉంది. ఇంగ్లండ్ కి రావడానికి ఎలాగైనా రామానుజన్ ని ఒప్పించమని నెవిల్ పంపాడు హార్డీ.

నెవిల్ రామానుజన్ ని కలుసుకున్నాడు. రామనుజన్ తన నోట్సు పుస్తకాలు చూపించాడు. చేత్తో రాసిన ఆ కాగితాలు చూసి నెవిల్ మంత్రముగ్ధుడయ్యాడు. రామానుజన్ ని ఎలాగినా ఇంగ్లండి కి రావడానికి ఒప్పించాలి. ఇతడికి నమక్కళ్  దేవత కలలో కనిపించిన భాగోతం అంతా తెలీదు. రామానుజన్ ఒప్పుకోడని సందేహిస్తూనే అడిగాడు. కాని తన ఆహ్వానానికి రామనుజన్ వెంటనే ఒప్పుకోవడం చూసి నెవిల్ ఆశ్చర్యపోయాడు.

అక్కడ ఇంగ్లండ్ లో హార్డీ, ఇక్కడ ఇండియాలో నెవిల్  ముమ్మరంగా పని చేసి రామానుజన్ యాత్రకి, ఇంగ్లండ్ లో బసకి కావలసిన నిధులు వేగంగా అతి తక్కువ కాలంలో ఏర్పాటు చేశారు.

ప్రయాణానికి సన్నాహాలు మొదలయ్యాయి. అంతకు ముందు రామానుజన్ ప్రతిభ విషయంలో ఎటూ తేల్చుకోలేని రామచంద్ర రావుగారు కల్పించుకుని ఈ సన్నాహంలో ఎన్నో విధాలుగా తోడ్పడ్డారు. రామానుజన్ మిత్రులు అతడి పాశ్చాత్య జీవన విధానం గురించి రకరకాలుగా చెప్పారు. వేష భాషల గురించి వేగంగా తర్ఫీదు ఇచ్చారు. రామచంద్ర రావు గారు అతడి పిలక తీసేయక తప్పదని నిర్బంధించారు. ఓ బ్రిటిష్ మిత్రుడు రామానుజన్ ని తన మోటార్ సైకిలు మీద ఊరంతా తిప్పి అవసరమైన బట్టలు కొనిపించాడు. సూటు బూటు వేసుకోడానికి ఎలాగో ఒప్పుకున్నా పాపం రామనుజన్ కి ‘టై’ కట్టుకోవడం మాత్రం మహా తలనొప్పిగా ఉండేది. ఇంత సందడిగా ఏర్పాట్లన్నీ జరుగుతున్నా రామానుజన్ ఈ యాత్ర పట్ల అంత సంతోషంగా లేదని అనిపించింది రామచంద్ర రావుకి. ఏదో విధి లేక ఇదంతా చేస్తున్నట్టు, “దైవ సంకల్పం కనుక చేస్తున్నట్టు” అనిపించింది ఆయనకి.

ఇంగ్లండ్ యాత్ర విషయంలో రామానుజన్ ని ఇబ్బంది పెట్టే ఓ ముఖ్యమైన విషయం ఆహారం. శుద్ధ శాకాహారం తప్ప మరొకటి తెలియని శ్రోత్రియ బ్రాహ్మణుడు. తినే భోజనమే కాక, దాన్ని వండేదెవరు, వడ్డించేదెవరు మొదలైన వాటి విషయంలో ఎన్నో నియమాలు ఉన్నావాడు. ఈ నియమాలన్నీ ఇంగ్లండ్ లో ఎలా పొసగుతాయి?   శాకాహారం విషయంలో ఏ సమస్యా ఉండదని హార్డీ హామీ ఇచ్చాక ఆ చింత కాస్త తీరింది.

మార్చ్  14  నాడు రామానుజన్ తన తల్లిని, భార్యని కుంభకోణం వెళ్లే రైలు ఎక్కించాడు. భార్య జానకమ్మ ఎలాగైనా భర్తతో పాటు ఇంగ్లండి వెళ్లాలనుకుంది. పెళ్ళయ్యాక భర్తతో ఒకే చూరు కింద జీవించిన కాలం తక్కువ. చాల కాలం తరువాత కుంభకోణం నుండి వచ్చి మద్రాసులో పని చేస్తున్న భర్త వద్దకి చేరుకుంది. ఎప్పుడూ గణితంలో మునిగితేలే భర్త తనని పెద్దగా పట్టించుకోకపోయినా, రోజూ కళ్ళెదుట భర్త కనిపిస్తూ ఉంటే ఆమెకో తృప్తి. పోనీ మద్రాసులోనే వున్నా అప్పుడప్పుడు అయినా కుంభకోణం నుండి వచ్చి చూసి పోయే అవకాశం ఉండేది. విశాల సముద్రాలు దాటి ఇప్పుడు విదేశాలకి పయనిస్తున్నాడు. మళ్లీ కొన్నేళ్ల దాక తిరిగి రాడు. మళ్లీ భర్తని ఎప్పుడు చూసుకుంటుందో తెలీదు. ఒకరోజు అత్తగారు ఇంట్లో లేని సమయంలో భర్తని తను కూడా ఇంగ్లండ్ తీసుకెళ్లమని అడిగింది. రామనుజన్ వీలుపడదని గట్టిగా చెప్పలేకపోయాడు. కాని తరువాత రామచంద్రరావు  కల్పించుకుని రామనుజన్ ఒంటరిగా వెళ్ళడమే శ్రేయస్కరమని, అక్కడ అతడు ఏకాగ్రచిత్తంతో గణిత అధ్యయనాలు కొనసాగించాలని, సపరివారంగా ఇంగ్లండ్ కి వెళ్ళడం ప్రస్తుత పరిస్థితుల్లో వీలుపడదని చెప్పి ఒప్పించాడు.


మార్చ్ 17  1913  నాడు ఎస్. ఎస్. నెవాసా అన్న ఓడలో ఇంగ్లండ్ కి బయల్దేరాడు. అంతవరకు గణిత లోకంలో ఎన్నో అద్భుత తీరాలని చూసిన రామనుజన్, ఇప్పుడు తన జీవితాన్ని సమూలంగా మార్చేసే ఓ పాశ్చాత్య తీరం దిశగా పయనమయ్యాడు.
(ఇంకా వుంది)

సమిష్టి ప్రభావపు నియమం (law of mass action)

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Friday, February 13, 2015 0 comments

పైన చెప్పుకున్న చర్య విలియమ్సన్ చెప్పిన ఉత్‍క్రమణీయ చర్యల లాంటిదే. ఇలాంటి చర్యలు సమతాస్థితిని చేరుకుంటాయని, ఆ స్థితిలో  A, B, C, D  లు అన్నీ ఆ రసాయనిక వ్యవస్థలో  కలిసి వుంటాయని మనకి ఇప్పుడు తెలుసు. A, B  ల మధ్య చర్య జరిగే వేగం (రేటు 1) బట్టి C, D లు చర్య జరిపే వేగం (రేటు  2) ఎంత ఎక్కువ (లేక తక్కువ) అన్న దాని మీద సమతాస్థితి ఆధారపడుతుంది.

రేటు  1  రేటు 2  కన్నా బాగా ఎక్కువ అనుకుందాం. అప్పుడు  A, B  ల మధ్య వేగంగా చర్య సాగుతుంది. అధిక మొత్తంలో C, D  లు ఉత్పన్నమవుతాయి. మరో పక్క  C, D  లు నెమ్మదిగా చర్య జరపగా తక్కువ మోతాదులో  A, B  లు ఉత్పన్నమవుతాయి. అందుచేత  A, B లు  అధిక శాతం  C,D లుగా మారిపోతాయి. వ్యతిరేక దిశలో పెద్దగా మార్పు జరగలేదు. కనుక సమతాస్థితి వద్ద ఎక్కువగా  C, D  లే కనిపిస్తాయి. పైన ఇవ్వబడ్డ సమీకరణాన్ని గమనిస్తే అలాంటి పరిస్థితుల్లో సమతాస్థితి బాగా కుడి పక్కకి జరిగింది అంటాము.
అదే విధంగా రేటు  2 రేటు 1  కన్నా బాగా ఎక్కువైనప్పుడు అందుకు విరుద్ధమైన ఫలితాలు వస్తాయి. అలాంటప్పుడు C, D  ల మధ్య వేగంగా చర్య జరిగి,  A, B  లు అధిక మొత్తంలో పుడతాయి. A, B   ల మధ్య చర్య అంత వేగంగా సాగడం లేదు కనుక అవి అలాగే ఉండిపోతాయి. ఈ పరిస్థితుల్లో సమతాస్థితి వద్ద ఎక్కువగా  A, B  లే ఉంటాయి. అలాంటప్పుడు సమతాస్థితి బాగా ఎడమ పక్కకి జరిగింది అంటాము.

కాని రేటు  1 , A  యొక్క అణువు ఎంత తరచుగా B  యొక్క అణువుని ఢీకొంటుంది అన్న దాని మీద ఆధారపడుతుంది. ఎందుకంటే అణువులు ఢీకొన్నప్పుడే చర్య జరుగుతుంది. పైగా ఢీ కొన్నంత మాత్రాన చర్య జరగాలని లేదు. అదే విధంగా రేటు 2,  C యొక్క అణువు  D  యొక్క అణువుతో ఎంత తరచుగా ఢీ కొంటుంది అన్నదాని మీద ఆధారపడుతుంది.

ఇప్పుడు ఆ వ్యవస్థ యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని మార్చకుండా కాస్త అదనంగా  A  గాని లేక  B గాని (లేక రెండూ గాని) ఆ వ్యవస్థకి కలిపాము అనుకుందాం. A, B  ల గాఢత పెరిగింది కనుక వాటి అణువుల మధ్య అభిఘాతాలు (collisions)  మరింత తరచుగా జరుగుతాయి. (దీనికి సారూప్యాన్ని చెప్పుకోవాలంటే రోడ్డు మీద ట్రాఫిక్ ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు వాహనాలు ఒకదాన్నొకటి గుద్దుకునే ఆస్కారం ఎక్కువగా ఉంటుంది. అర్థరాత్రి పూట ట్రాఫిక్ పలచగా ఉన్నప్పుడు ఆ అవకాశం తక్కువ.)

అందుచేత A యొక్క, B యొక్క (లేదా రెండిటి యొక్క) గాఢత పెంచినప్పుడు రేటు  1  పెరుగుతుంది. గాఢత తగ్గిస్తే రేటు కూడా తగ్గుతుంది. అలాగే C యొక్క, లేక D ల యొక్క (లేదా రెండిటి యొక్క)  గాఢత పెంచితే రేటు  2  పెరుగుతుంది. ఆ విధంగా రేటు  1  ని గాని, రేటు 2 ని గాని మార్చి సమతాస్థితిలో ఉండే పదార్థాల గాఢతలని నియంత్రించొచ్చు. చర్యలో పాల్గొనే పదార్థాల గాఢతలని మార్చి ఆ విధంగా సమతాస్థితిని వీలుగా మార్చుకోవచ్చు.

సమతాస్థితి వద్ద  A, B, C, D  ల గాఢతలు మారుతాయని, మార్చుకోవచ్చని తెలుసుకున్న గుల్డ్‍బర్గ్, వాగేలు మరో ముఖ్యమైన విషయం గమనించారు. A, B, C, D  లు మారుతున్నా వాటి వెనుక మారకుండా నేపథ్యంలో ఒక రాశి వుందని గుర్తించారు. ద్వంద్వ బాణాలకి ఎడమ పక్క ఉన్న రసాయనాల గాఢతల లబ్దానికి, అలాగే కుడి పక్కన ఉన్న రసాయనాల గాఢతల లబ్దానికి మధ్య నిష్పత్తి, సమతాస్థితి వద్ద మారకుండా ఉండడం గమనించారు.

ఒక ప్రత్యేక పదార్థం యొక్క గాఢతని ఆ పదార్థం యొక్క చిహ్నానికి ఇరు పక్కల బ్రకెట్లు పెట్టి సూచించొచ్చు అనుకుందాం. అప్పుడు సమతాస్థితి వద్ద ఈ కింది రాశి స్థిరాంకం అవుతుంది.


పై సమీకరణంలో K  ని సమతాస్థితి స్థిరాంకం (equilibirium constant) అంటారు. ఒక ప్రత్యేక ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఏ ఉత్‍క్రమణీయ చర్యకైనా ఇలాంటి స్థిరాంకం ఒకటి ఉంటుంది.


ఆ విధంగా గుల్డ్‍బర్గ్, వాగే లు ప్రతిపాదించిన ఈ ‘సమిష్టి ప్రభావపు నియమం (law of mass action)’ ఉత్‍క్రమణీయ చర్యలని చక్కగా వివరించగలిగింది. బెర్థొలే చేసిన తప్పుడు సూచన కన్నా ఇది ఎంతో మేలని తేలింది. అయితే దురదృష్టవశాత్తు గుల్డ్‍బర్గ్, వాగే లు తమ కృషి గురించి నార్వేజియన్ భాషలో రాసి ప్రచురించారు. అందుచేత 1879  లో దాన్ని జర్మన్ భాషలోకి తర్జుమా చేసిన దాకా దాని గురించి ప్రపంచానికి పెద్దగా తెలియలేదు.

(ఇంకా వుంది)

హార్డీ రాసిన ప్రత్యుత్తరం

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Wednesday, February 4, 2015 1 comments

అలా రామనుజన్ పంపిన సిద్ధాంతాలని పరిశీలిస్తూ హార్డీ, లిటిల్ వుడ్ లు ఎంత సేపు గడిపారో తెలీదు. మొదట్లో రామానుజన్ సృజనలో ఎంతో కొంత ప్రత్యేకత ఉందనుకున్నారు. నిజంగా గణితం తెలిసిన వాడే, మోసగాడు కాడు అనుకున్నారు. కాని ఉత్తరాన్ని, అందులోని అంశాలని కొన్ని గంటల పాటు శ్రధ్ధగా పరిశీలించిన మీదట ఆ గణిత స్నేహితులు ఇద్దరూ ఒక నిర్ణయానికి వచ్చారు – ఆ ఉత్తరాన్ని రాసిన వ్యక్తి “అత్యున్నత కోవకి చెందిన గణిత వేత్త అయ్యుండాలి.”

అంతకు ముందు రామానుజన్ ఉత్తరాలు రాసిన ఇద్దరు బ్రిటిష్ గణితవేత్తలు చేసినట్టుగా నిరాకరించి హార్డీ పొరబాటు చెయ్యలేదు.

రామానుజన్ ఉత్తరానికి ప్రతులని కేంబ్రిడ్జ్ విశ్వవిద్యాలయంలో ఎందరో ప్రముఖులకి పంపాడు హార్డీ. రామనుజన్ సిద్ధాంతాలు కేంబ్రిడ్జ్ లో గొప్ప సంచలనాన్ని సృష్టించాయి. ఇంతలో హార్డీ లండన్ లోని ఇండియా కార్యాలయాన్ని సంపర్కించి రామనుజన్ ని కేంబ్రిడ్జ్ కి తీసుకు వచ్చే ప్రయత్నాలు మొదలెట్టాడు.
ఇక ఆలస్యం చెయ్యకుండా రామనుజన్ కి ఉత్తరం రాశాడు.
  
Dear Sir, I was exceedingly interested by your letter and by the theorems…”
“అయ్యా, మీ ఉత్తరం, అందులో వివరింపబడ్డ సిద్ధాంతాలు నాకు ఎంతో ఆసక్తికరంగా తోచాయి..”
 అంటూ ప్రశంసాపూర్వకంగా మొదలుపెట్టినా ఆ సిద్ధాంతాలకి నిరూపణలు కూడా జత  చేసి వుంటే బావుండేదని, నిరూపణలు లేకుండా ఆ సిద్ధాంతాల విలువ తేల్చుకోవడానికి సాధ్యం కాదని రాశాడు. ఆ నిరూపణలు కూడా ఆషామాషీ నిరూపణలు కాదు. “నిస్సందేహమైన నిర్దుష్టత” (absolute rigor) గల నిరూపణలు కావాలని కోరాడు.
ఆ నిరూపణలు వీలైనంత తొందరగా పంపమని, సకాలంలో పంపగలిగితే వాటిని అత్యున్నత గణిత పత్రికలలో ప్రచురించడానికి వీలవుతుందని రాశాడు.

ఒక పక్క రామనుజన్ ప్రతిభకి ఇంగ్లండ్ నుండి స్పందన ఇల ఉండగా, మద్రాసులో కూడా పరిస్థితి నెమ్మదిగా మెరుగుపడసాగింది. మద్రాస్ లో రామానుజన్ కి సర్ ఫ్రాన్సిస్ అనే  అభిమాని, శ్రేయోభిలాషి ఉండేవాడు. ఇతడు గణితంలో ప్రముఖులు ఎవరికైనా రామనుజన్ చేసిన గణిత సృజనని చూపించి రామనుజన్ పట్ల సదభిప్రాయం కలిగే చెయ్యాలని అనుకునేవాడు. ఓ సారి గిల్బర్ట్ వాకర్ అనే గణిత వేత్త మద్రాస్ కి వచ్చాడు. ఈ వ్యక్తి సిమ్లా లో ‘భారతీయ వాతావరణ విభాగం’లో పని చేసేవాడు. సర్ ఫ్రాన్సిస్ ఈ వాకర్ కి రామనుజన్ రాసిన నోట్సు పుస్తకాలు చూపించాడు. ఆ గణితం చూసి వాకర్ మురిసిపోయాడు.

కేంబ్రిడ్జ్ స్థాయి గణిత వేత్తలతో పోల్చదగ్గ వాడు  రామనుజన్ అన్నాడు. రామానుజన్ పరిశోధించే గణితం ‘శుద్ధ గణితం’ (pure mathematics). కాని వాతావరణ పరిశోధనలలో గణితాన్ని ఉపయోగించే వాకర్ కి తెలిసిన గణితం ‘అనువర్తిత గణితం’ (applied mathematics). కనుక ఒక పక్క తనకి రామానుజన్ చేస్తున్న గణితంలో పెద్దగా ప్రవేశం లేదని ఒప్పుకుంటూనే, రామానుజన్ ని కొంత కాలం ఇంగ్లండ్ లో ఓ పెద్ద విశ్వవిద్యాలయంలో పని చేసేలా సదుపాయం కల్పిస్తే ఆయన  ప్రతిభ లోకానికి తెలుస్తుందని సూచించాడు.

ఇది విన్న రామానుజన్ కి తన మీద తనకి నమ్మకం బలపడింది. త్వరలోనే హార్డీకి జవాబు రాశాడు. మొదటి ఉత్తరంలో ప్రాథేయపడుతున్నట్టుగా ఉన్న ధోరణి ఈ సారి కొంచెం మారింది. తన మొదటి ఉత్తరానికి సుముఖంగా స్పందించినందుకు హర్డీకి కృతజ్ఞతలు చెప్తూనే ఉత్తరాన్ని ఆరంభిస్తాడు. కాని నిరూపణలు ఇవ్వకపోవడానికి కారణం ఉత్తరంలో ఖాళీ లేకపోవడమే నని, అంటునే హార్డీకి ఇలా సవాలు విసుర్తాడు – “నేను పంపిన ఫలితాలని కావాలంటే సమకాలీన గణితవేత్తలు నడిచే గాడిలోనే నడిచి మీకు మీరే సరిచూసుకోండి.  అప్పుడు నా గణిత ఫలితాలలో ఏదో లోతైన సత్యం ఉందని మీకే తెలుస్తుంది.”

వాకర్ ఉత్తరంతో ఉత్సాహం వచ్చిన బి. హనుమంత రావు అనే లెక్కల ప్రొఫెసరు రామానుజన్ కి సహాయపడుతూ ఏదైనా చెయ్యాలనే ఉద్దేశంతో  మద్రాసులో కొందరు ప్రముఖులని సమావేశ పరిచి రామనుజన్ కి ఓ స్కాలర్షిప్ అందేలా ఏర్పాటు చేశాడు. నెలకి డెబ్బై ఐదు రూపాయలు ఇచ్చే ఆ స్కాలర్షిప్ తో మద్రాస్ లో రామానుజన్ పరిస్థితి గణనీయంగా మారింది. పొట్టకూటి కోసం ఇష్టం లేని ఉద్యోగాలు చెయ్యనక్కర్లేదు. రాత్రనక, పగలనక తనకి ప్రియాతిప్రియమైన గణితంలో మునిగితేలొచ్చు.
(ఇంకా వుంది)

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

There was an error in this gadget
There was an error in this gadget

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email