శాస్త్ర విజ్ఞానము ఇప్పుడు మిగతా భారతీయ భాషల్లో కూడా... ఇక్కడ నొక్కి చూడండి. For Science in other Indian Languages. Please Click here.

ప్రధాన సంఖ్యలని పుట్టించే సూత్రాలు

Posted by శ్రీనివాస చక్రవర్తి Saturday, June 29, 2013


ఈ ప్రశ్నని పరిశీలించడానికి మొత్తం ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య మితమైనదేనని అనుకుందాం. ఈ ప్రధాన సంఖ్యల లోకెల్లా అతి పెద్ద సంఖ్యని N అనే సంఖ్యతో సూచిద్దాం. ఇప్పుడు ఆ మొత్తం ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దాన్ని తీసుకుని దానికి ఒకటి కలుపుదాం. అప్పుడు వచ్చిన ఫలితం ఇలా ఉంటుంది –

(1 X 2 X 3 X 5 X 7 X 11…X N) + 1



ఇలా పుట్టిన సంఖ్య కచ్చితంగా అతి పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అయిన N కన్నా పెద్దదే స్పష్టంగా తెలుస్తోంది. అంతేకాక ఈ సంఖ్య మనకి తెలిసిన ఏ ప్రధాన సంఖ్యతోను విభజింపబడలేదని కూడా సులభంగా గుర్తించొచ్చు. ఎందుకంటే పై సంఖ్యని 2 నుండి N మధ్య ఏ ప్రధాన సంఖ్యతో విభజించినా శేషం 1 అవుతుంది.

దీన్ని బట్టి మనకి తెలిసేదేమిటంటే పై సంఖ్యే ఓ పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య అయ్యుండాలి, లేదా దానికి ప్రధాన సంఖ్యలు అయిన కారణాంకాలు ఉన్నా అవి N కన్నా పెద్దవి అయ్యుండాలి. ఎలా చూసినా మనం మొదట అనుకున్న నమ్మకం (N ని మించిన ప్రధాన సంఖ్య లేదు) వమ్మయ్యింది. ఈ విధంగా ఒక నమ్మకంతో బయల్దేరి అందులోని అంతర్ వైరుధ్యాన్ని ఎత్తి చూపడం గణిత రంగంలో ఓ సర్వసామాన్యమైన శోధనా పద్ధతి.



ఆ విధంగా ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతంగా ఉన్నాయని తెలిశాక, ఒక్కటి కూడా వదలకుండా వాటన్నిటినీ వరుసగా లెక్కించగలమా? అలా చేసే పద్ధతిని మొట్టమొదట కనుక్కునవారిలో ఒకడు గ్రీకు తాత్వికుడు, గణిత వేత్త అయిన ఎరొటోస్తినీస్. ఈ పద్ధతిని “జల్లెడ” పద్ధతి అంటారు. ఈ పద్ధతిలో ముందుగా 1,2,3,4,… ఇలా వరుసగా అంకెలు రాయాలి. ఇప్పుడు ఆ అంకెల్లోంచి 2 యొక్క గుణకాలన్నీ (4,6,8,10,…) కొట్టివేయాలి. తరువాత 3 యొక్క గుణకాలన్నీ కొట్టేయాలి. తరువాత 5…. ఇలా ఒక్కొక్క ప్రధాన సంఖ్యనే తీసుకుని దాని గుణకాలన్నిటినీ మొదట తీసుకున్న పూర్ణ సంఖ్యల పట్టిక నుండి కొట్టేయాలి. ఎరొటోస్తినీస్ జల్లెడ లో మొదటి 100 అంకెలని కింది చిత్రంలో చూడొచ్చు. వీటిలో మొత్తం 26 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి. పైన చెప్పిన జల్లెడ పద్ధతిని ఉపయోగించి మొదటి బిలియన్ అంకెల వరకు ప్రధాన సంఖ్యలని లెక్కించడానికి వీలయ్యింది.



అయితే ఇలా జల్లెళ్లతో అవస్థ పడకుండా ప్రధాన సంఖ్యలని లెక్కించడానికి సులభంగా ఏదైనా సూత్రం ఉంటే బావుంటుంది కదూ? కాని అలాంటీ సూత్రం కోసం శతాబ్దాలుగా ఎంతో మంది ప్రయత్నించినా అది ఎవరికీ దొరకలేదు. 1640 లో ఫర్మా (Fermat) అనే ఫ్రెంచ్ గణిత వేత్త ఓ గొప్ప సూత్రం కనుక్కున్నానని నమ్మాడు. ఆ సూత్రం నుండి కేవలం ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే వస్తాయని అనుకున్నాడు. ఆ సూత్రం ఇది-

2^2^n + 1

ఈ సూత్రంలో n వరుసగా 1,2,3,4… ఇలా పూర్ణ సంఖ్యల విలువలు తీసుకుంటుంది. వివిధ n విలువలని సూత్రంలో ప్రతిక్షేపిస్తే వచ్చే ఫలితాలు ఇలా ఉంటాయి.

2^2 + 1 = 5

2^2^2 + 1 = 17

2^2^3 + 1 = 257

2^2^4 + 1 = 65537

నిజానికి పై నాలుగు సంఖ్యలూ ప్రధాన సంఖ్యలే. ఫర్మా పై సూత్రాన్ని చాటిన శతబ్ద కాలం తరువాత ఆయిలర్ (Euler) ఆ సూత్రాన్ని గురించిన ఓ ముఖ్యమైన సత్యన్ని కనుక్కున్నాడు. ఫర్మా కనుక్కున్న సూత్రంలో n విలువ 5 అని తీసుకుంటే వచ్చే ఫలితం 4,294,967,297. ఈ సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్య కాదని, 6,700, 417 మరియు 641 ల లబ్దం అని ఆయిలర్ నిరూపించాడు. ఆ విధంగా ప్రధాన సంఖ్యలు లెక్కించగలదన్న ఫెర్మా సూత్రం తప్పని తేలింది.



ఎన్నో ప్రధాన సంఖ్యలని పుట్టించగల మరో అద్భుత సూత్రం వుంది. అది –

n^2 – n + 41



ఈ సూత్రం లో n వరుసగా 1,2,3,… ఇలా పూర్ణ సంఖ్యల విలువలు తీసుకుంటుంది. పై సూత్రం n = 1,2,… 40 అయితే వచ్చే ఫలితాలన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలు కావడం ఆశ్చర్యం. కాని n=41 అయినప్పుడు మాత్రం ఫలితం,

41 X 41 – 41 + 41 = 41 x 41

ప్రధాన సంఖ్య కాదు.

ప్రధాన సంఖ్యలని పుట్టించడానికి ఇంతకన్నా సంక్లిష్టమైన సూత్రం ఒకటుంది. అది –

n^2 – 79n + 1601

n = 1,2,…79 వరకు పై సూత్రం ప్రధాన సంఖ్యలని పుట్టిస్తుంది. కాని n=80 అయినప్పుడు ఫలితం ప్రధాన సంఖ్య కాదు.

ఆ విధంగా వరుసగా ప్రధాన సంఖ్యలు అన్నిటినీ పుట్టించే, ప్రధాన సంఖ్యలని మాత్రమే పుట్టించే సూత్రం కోసం అన్వేషణలన్నీ విఫలం అయ్యాయి.

(ఇంకా వుంది)













7 comments

  1. తార Says:
  2. >>అంతేకాక ఈ సంఖ్య మనకి తెలిసిన ఏ ప్రధాన సంఖ్యతోను విభజింపబడలేదని కూడా సులభంగా గుర్తించొచ్చు.

    Are you following any Science Literature Book? The problem with Science books is, they are very misleading, and they often leave the heart of the theory may be due to insufficient understanding or to make simplicity. Maths is very rigorous subject, even you change a single word, it will lead to lot of contradictions. More over, most Science writers are not Mathematicians, so they don't have sound understanding of the subject. Finally the end reader gets misguided and he will interpret the whole subject in wrong way.

    Here heart of the proof is, UFD (Unique factorization domain), in a UFD you can express every element as "finite" product of irreducibles.

    In Set of Natural Numbers, the irreducibles are prime "numbers" (because of the same irreducibility you discussed in previous post). So, essentially, here in this proof, you are assuming that every Natural number can be expressed as "finite" product of Prime "Numbers". Before stating this proof, you should prove that or atleast state a line about this assumption.

    With out this assumption, may be there are infinite prime numbers, but your proof is not valid.

     
  3. This is a translation of George Gamov's "One, two, three...infinity."
    But what is wrong with the following statement?
    >>అంతేకాక ఈ సంఖ్య మనకి తెలిసిన ఏ ప్రధాన సంఖ్యతోను విభజింపబడలేదని కూడా సులభంగా గుర్తించొచ్చు.

     
  4. తార Says:
  5. Let me explain the Proof.

    Lemma: In the set of Natural Numbers, every number can be expressed as finite product powers of irreducibles (called prime numbers).
    Proof: I am leaving it out here.

    Theorem: There exists infinite number of Prime Numbers in the set of Natural Numbers.

    Proof: Let us assume the otherwise, say there exists only "n" number of prime numbers only. say p1, p2,...pn. Consider the number M = p1*p2*...pn + 1. By Archimedean Principle, this is also a Natural Number. As by previous lemma, M can also be expressed as product of powers of some subset of p1,...pn. But none of the primes divides the number M, (i.e., అంతేకాక ఈ సంఖ్య మనకి తెలిసిన ఏ ప్రధాన సంఖ్యతోను విభజింపబడలేదని కూడా సులభంగా గుర్తించొచ్చు). Hence it satisfies the property of irreducibility, and hence M is a prime number, not one of p1,..pn, which is a contradiction.

    ........

    Here, that line which is heart of the theorem is based on Lemma. With out that lemma, that line no longer gives you any result. That is just another fact, but significance came to that line just because of previous lemma. So, I quoted that line.



     
  6. Ok. I understand the issue. Here's my resp.

    The lemma you mentioned above is obvious in case of natural numbers. If you are dealing with more abstract entities, you may have to explicitly state it.

    Or if you are writing math textbook you will have to explicitly state it for the sake of rigor.

    This is a popular science book and pitched at layperson level. So talking about prime numbers as "irreducibles" etc would seem like hairsplitting and might distract the reader.

    Another thought:

    Time and again I have been noticing that several bloggers are so well informed in various branches of science. It will be great if they used their talent in writing some popular science in Telugu themselves, instead of stopping short at criticizing what others do. If they have concrete ideas about how popular science must be written in Telugu, it is only fair that they reveal them to the world by an actual demonstration...


    It is not just this blog, or Telugu science popularization... Isnt it a very common feature (malaise?) in our country? In our highly populated country, for every national problem there are a vast number of "commentators" who will illumine us about the best ways to solve those problems. These are the people who discuss, critique, analyze, look at the problem from a thousand angles, and give scholarly lectures on the matter. But there are very few... very, very few... who have the good sense to get off their whatever-it-is and actually do something about it!!!

    Personally I'd rather belong to the latter class of people, since there is hardly any competition :-)

     
  7. తార Says:
  8. >>
    The lemma you mentioned above is obvious in case of natural numbers. If you are dealing with more abstract entities, you may have to explicitly state it.
    >>

    Yes quite obvious, but it took thousands of years to prove that lemma, only after "induction" it was proved.

    In Maths, many things look obvious, but when you try to prove it, most of the times either you might be wrong or you need to change the whole world :-). Many things look quite obvious because our knowledge is very limited, I mean the examples we can construct are very obvious, so they seem very true, but once you start proving general case, you might need to borrow a couple of thousand years.

    Check the abc conjecture, it looks quite obvious, but still the proof is unknown (there are much more harder open problems in number theory, but the most easiest been open from many centuries).

    >>
    Or if you are writing math textbook you will have to explicitly state it for the sake of rigor.
    >>

    Nope, if you writing Maths text book, that is completely different case. Here you should mention the lemma since, because of that reason only we are studying prime numbers, if that lemma is false, Mathematicians are least bothered about Primes. Prime will be just another number.

    Just that simple lemma instigated a whole lot of research in Maths, take localization, why do you localize? you localize because, you study the behavior at individual primes and you glue all the primes together you will get the whole behavior. (this is Geometry, and the thought is from this Lemma only).

    That Lemma (also called fundamental theorem of Arithmetic), is much more significant.

    For two reasons, here the author should mention that before the line I quoted in my first para.

    1. Because of that Lemma only we are interested in primes.
    2. Because of that Lemma only the proof of the theorem is true. (I mean here a serious reader would definitely get a doubt that, why should a prime must divide (1 X 2 X 3 X 5 X 7 X 11…X N) + 1, what is none of the primes divide this number? whats the big deal?)

    Again, Fermat also interested in Primes because, he wanted to find a way (an algorithm) for Factorization.

    >>Another thought:

    Yes I agree, but I want my readers to think and change their attitudes. Give me such readers I will write. (I tried, I wrote some articles with intentional serious flaws, I waited and waited, but none found them, either people knew that either it is beyond science or believed true because of their political ideology.

    Even in my college (you might know standard of our Maths dept.), they consult Vaastu experts before making changes in buildings. The whole nation looks at these people and even these people are like that. Instead I prefer to invest same time in learning a new subject. [ Serious readers can find very good English books, like Men of Mathematics, or DFS Macroeconomics]. So, there is no serious loss to a serious reader.

     
  9. తార Says:
  10. *I quoted in my first para.

    Typo first "comment".

     
  11. తార Says:
  12. To be more precise, the proof is not self contained, it requires some advanced level Maths to understand that sentence correctly, certainly the book is not written for such advanced readers.

    So, it leaves the reader either assume some thing on his own, this is how a book shouldn't be.

     

Post a Comment

postlink

సైన్సు పుస్తకాలు ఇక్కడ నుంచి కొనవచ్చు.. click on image

Silence...Please!!!

ఆఁ...అది...ఇప్పుడు మిమ్మల్ని గ్రంథాలయంలోకి అడుగుపెట్టటానికి అనుమతినిస్తున్నా. ఇక్కడ నొక్కి లోనికి వెళ్ళండి.

అంతరిక్షం చూసొద్దాం రండి

"తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" తరపున స్వాగతం... సుస్వాగతం!" "తారావళీ సూపర్ ట్రావెల్స్" గురించి ప్రత్యేకించి మీకు చెప్పనవసరం లేదు. తారాంతర యాత్రా సేవలు అందించడంలో మాకు 120 ఏళ్ల అనుభవం ఉంది. మా హెడ్ క్వార్టర్స్ భూమి మీదే ఉన్నా, సౌరమండలం బయట మాకు చాలా బ్రాంచీలు ఉన్నాయని మీకు బాగా తెలుసు. అంతరిక్షానికి వెళ్ళడానికి ఇక్కడ నొక్కండి

Printer-friendly gadget

Print

ఈ బ్లాగులోని పోస్ట్ లు ఆటోమేటిక్ గా మీ మెయిల్ ఇన్బాక్స్ లోకి చేరడానికి మీ ఈ-మెయిల్ ఐడీని ఎంటర్ చేసి చందాదారులు కండి Enter your email address:

Delivered by FeedBurner

Total

Blogumulus by Roy Tanck and Amanda FazaniInstalled by CahayaBiru.com

Label Category

Followers

archive

Total Pageviews

Sign In

Share It

విజ్ఞానులు

GuestBooker 2.5

Recent Posts

Popular Posts

Follow by Email