ఊహా సంఖ్యల విషయం
ఇప్పటికీ అగమ్య గోచరంగా ఉంటే విషయాన్ని తేటతెల్లం చెయ్యడానికి ఓ చిన్న వాస్తవ సన్నివేశాన్ని
తీసుకుందాం.
గొప్ప సాహసం,
తెలివితేటలు గల ఓ కుర్రాడు ఉండేవాడు. అతడికి ఓ రోజు వాళ్ల ముత్తాతగారి కాగితాల మధ్య
ఓ తాళపత్రం దొరికింది. ఆ పత్రంలో ఓ రహస్య నిధి యొక్క ఆచూకీకి సంబంధించిన సమాచారం దొరికింది.
అందులోని ఆదేశాలు ఇలా వున్నాయి –
“___ ఉత్తర అక్షాంశం
(latitude) మరియు ____ పశ్చిమ రేఖాంశం (longitude) వరకు సముద్రం మీద ప్రయాణించు. అక్కడ
ఓ నిర్జన దీవి కనిపిస్తుంది. దీవి యొక్క ఉత్తర తీరం వద్ద ఓ విశాలమైన పచ్చిక బైలు కనిపిస్తుంది.
ఆ బైలులో ఓ ఒంటరి ఓక్ చెట్టు, ఓ ఒంటరి పైన్ చెట్టు ఉంటాయి. ఆ చెట్లకి అల్లంత దూరంలో
ఓ ఉరికంబం కూడా ఉంటుంది. వెనకటి రోజుల్లో దేశద్రోహులని అక్కడ ఉరితీసేవారు. ఉరికంబం
నుండీ బయల్దేరి అడుగులు లెక్కపెట్టుకుంటూ ఓక్ చెట్టు దిశగా నడవాలి. ఓక్ చెట్టు వద్ద
90 డిగ్రీలు కుడిపక్కకి తిరిగి మళ్లీ అన్నే
అడుగులు వెయ్యాలి. అక్కడ నేల మీద ఓ కమ్మీ పాతాలి. ఇప్పుడు ఉరికంబం వద్దకి తిరిగొచ్చి
అక్కణ్ణుంచి ఈ సారి మళ్ళీ అడుగులు లెక్కపెట్టుకుంటూ
పైన్ చెట్టు దిశగా నడవాలి. పైన్ చెట్టు వద్ద 90
డిగ్రీలు ఎడమ పక్కకి తిరిగి, ఉరికంబం నుండి పైన్ చెట్టు వరకు ఎన్ని అడుగులు
వేశామో అన్నే అడుగులు నడవాలి. అక్కడ మరో కమ్మీ పాతాలి. ఈ రెండు కమ్మీలకి సరిగ్గా మధ్య
బిందువు వద్ద నిధి వుంది.”
ఆదేశాలు చాలా
స్పష్టంగా, ప్రస్ఫుటంగా వున్నాయి. కనుక మన సాహసబాలుడు పడవెక్కి దక్షిణ సముద్రాలకి పయనమయ్యాడు.
అక్కడ దీవి కనిపించింది. దాని మీద పచ్చిక బైలు కనిపించింది. ఓక్, పైన్ చెట్లు కూడా
కనిపించాయి. కాని విధివైపరీత్యం వల్ల ఉరికంబం మాయమైపోయింది! ఆ తాళ పత్రం రాసి చాలా
కాలం అయ్యింది. ఆ తరువాత ఎన్నో వసంతాలు మారాయి. ఎండకి ఎండి, వానకి తడిసి ఉరికంబం లోని
చెక్క కుళ్ళి, శిధిలమై నేలమట్టం అయిపోయింది. అది ఒకప్పుడు ఉన్న స్థానంలో దాని ఆనవాళ్లు
కూడా మిగలలేదు.
మన సాహసబాలుడికి
ఒళ్లు మండిపోయింది. వీరావేశంతో ద్వీపం అంతా ఎక్కడ పడితే అక్కడ, ఎలా పడితే అలాగ తవ్విపారేయడం
మొదలెట్టాడు! కాని ద్వీపం చూడబోతే చాలా పెద్దది. పాపం కుర్రాడు ఎంతకని తవ్వుతాడు, ఎక్కడని
తవ్వుతాడు? అలా తవ్వగా తవ్వగా, నరాలు జివ్వున లాగగా లాగా, అలిగి, పలుగు అవతల పారేసి,
పడవెక్కి ఇంటికెళ్లిపోయాడు పాపం పసివాడు!
దీవి మీద రహస్య
నిధి మాత్రం ఎక్కడో చెక్కుచెదరకుండా వుంది.
ఇక్కడ విషయం
ఏంటంటే కుర్రాడు ఊరికే ఆవేశపడకుండా కాస్త ఊహాశక్తిని వినియోగించి ఊహాసంఖ్యల వినియోగాన్ని
అర్థం చేసుకుని వుంటే, నిధి చక్కగా చేతికి చిక్కేది. పిల్లాడు పోతే పోయాడు. పోనీ మనవైనా
ఆ నిధి సంగతేంటో చూద్దామా?
ద్వీపం మొత్తం
ఓ పెద్ద ‘సంకీర్ణ తలం’ (complex plane) అనుకుందాం.
రెండు చెట్లూ వాస్తవ సంఖ్య మీదుగా ఉన్నాయని అనుకుందాం. రెండు చెట్లకి మధ్య బిందువు
వద్ద మూలం (origin) వుందనుకుందాం. చెట్ల మధ్య
దూరం రెండు యూనిట్ల దూరం అనుకుంటే, ఓక్ చెట్టు యొక్క స్థానం -1 అవుతుంది. అలాగే పైన్
చెట్టు యొక్క స్థానం +1 అవుతుంది. ఉరికంబం
ఎక్కడుందో తెలీదు కనుక దాని స్థానాన్ని G
అనే గ్రీకు అక్షరంతో సూచిద్దాం. తమాషా ఏంటంటే ఆ అక్షరం చూడడానికి కూడా ఉరికంబం లాగానే
వుంటుంది. G సంకీర్ణ సంఖ్య కనుక దాన్ని ఇలా వ్యక్తం
చేద్దాం: G = a+ ib.
ఇప్పుడు ఇందాక
మనం చెప్పుకున్న ఊహాసంఖ్య మధ్య క్రియలని వాడుకుంటూ నిధి యొక్క స్థానాన్ని ఇలా లెక్కిద్దాం.
ఉరికంబం G వద్ద ఉంది కనుక, ఓక్ చెట్టు యొక్క స్థానం
-1 కనుక, రెండిటికి మధ్య ఎడాన్ని సూచించే సంకీర్ణ
సంఖ్య విలువ,
=-1 - G= -(1+ G )
అవుతుంది. అదే
విధంగా ఉరికంబానికి, పైన్ చెట్టుకి మధ్య ఎడాన్ని సూచించే ఊహాసంఖ్య విలువ,
=1 - G
అవుతుంది. ఈ
రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యలని, మొదటి దాన్ని సవ్య దిశలోను, రెండవ దాన్ని అపసవ్య దిశలోను తిప్పాలంటే
వాటిని వరుసగా –i మరియు +i లతో గుణించాలి.
అప్పుడు మొదటి
కమ్మీ యొక్క స్థానం ఇలా వస్తుంది
= -(1- G)(-i) -1=(1- G)i -1
అలాగే రెండవ
కమ్మీ యొక్క స్థానాన్ని ఇలా లెక్కించొచ్చు,
= (1+ G)(i) + 1
ఇప్పుడు రెండు
కమ్మీలకి మధ్య బిందువుని ఇలా కనుక్కోవచ్చు,
=1/2 ((1- G)i -1 + (1+ G)i + 1) = ½ ((1- G)i + (1+ G)i) = ½ (2i) = i
ఈ చివర వచ్చిన
ఫలితమే నిధి యొక్క స్థానాన్ని తెలుపుతోంది అన్నమాట. ఇక్కడ ఆశ్చర్యకరమైన విషయం ఏంటంటే
నిధి యొక్క స్థానం ఉరికంబం యొక్క స్థానం (G)
మీద ఆధారపడి లేదు. ఉరికంబం ఎక్కడున్నా నిధి యొక్క స్థానం మాత్రం అదే అవుతుంది.
నిధి యొక్క స్థానం
+i వద్ద వుంది. అంటే రెండు చెట్లకి మధ్య బిందువు నుండి “పైకి” ఒక యూనిట్
దూరం నడిస్తే నిధి ఉన్న స్థానాన్ని చేరుకుంటాం అన్నమాట. ఊహాసంఖ్యల గణితం సహాయంతో తేల్చుకున్న
ఈ ఫలితం నిజమని రూఢి చేసుకోవాలంటే ఓ కాగితం మీద పైన చెప్పుకున్న ఆదేశాలని అనుసరిస్తూ
జ్యామితిబద్ధంగా బొమ్మ గీసి చూడండి. నిధి స్థానానికి ఉరికంబం యొక్క స్థానానికి సంబంధం
లేదని తెలుస్తుంది.
Sqrt(-1) అనే ఊహాసంఖ్య సహాయంతో కనుక్కోబడ్డ మరో రహస్య నిధి
కూడా వుంది. మన సామాన్య అనుభవంలో భాగంగా పొడవు,
వెడల్పు, ఎత్తు అనే మూడు కొలతలు గల త్రిమితీయ ఆకాశాన్ని (three-dimensional space) కాలం అనే మరో కొలతతో సంధించి, పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తు,
కాలం అనే నాలుగు మితులు గల చతుర్మితీయ ఆకాశాన్ని (four-dimensional space), దాన్ని
శాసించే చతుర్మితీయ జ్యామితికి చెందిన సూత్రాలని ఊహాసంఖ్యల గణితం సహాయంతో కనుక్కోవడం
సాధ్యపడింది. ఈ ఆవిష్కరణలే ఆల్బర్ట్ ఐన్స్టయిన్ ప్రతిపాదించిన సాపేక్ష సిద్ధాంతంలో
చోటు చేసుకున్నాయి.
(అధ్యాయం సమాప్తం)
0 comments